8.2 抛物线.pptVIP

解方程组 ?可得点A的坐标为(?,p); 解方程组? 可得点B的坐标为(8p,-4p). ∵|OA|2+|OB|2=|AB|2,且|AB|=5?, ∴(?+p2)+(64p2+16p2)=325, ∴p=2,∴所求的抛物线方程为y2=4x. 11.(视角拓展)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3? . (1)求k的值; (2)以此弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当此三角形的面积为9时,求P点坐标. 【解析】(1)由 ?可得4x2+(4k-4)x+k2=0. 设抛物线与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则? ∴|AB|= =? = 3 ?,所以k=-4,此时Δ0符合题意. (2)∵S=9且底边长为3 ?,∴三角形高h= ?. ∵P点在x轴上,∴可设P点坐标是(x0,0), 则点P到直线y=2x-4的距离就等于h, 即 ? =? , ∴x0=-1或x0=5,∴P点坐标为(-1,0)或(5,0). 12.(高度提升)已知抛物线C1的方程是y=ax2(a0),圆C2的方程是x2+(y+1)2=5,直线l:y=2x+m(m0)是C1,C2的公切线,F是C1的焦点. (1)求m与a的值; (2)设A是抛物线C1上的一动点,以A为切点作C1的切线交y轴于点B,若 ?= + ?,则点M在一定直线上,试证明之. 【解析】(1)由已知,圆C2的圆心为C2(0,-1),半径r= ?,由题设 圆心到直线l:y=2x+m(m0)的距离d等于圆的半径,即? =? ,解得m=-6(m=4舍去). 设l与抛物线相切的切点为A0(x0,y0),又y=2ax,得2ax0=2,∴x0= , y0=?. 代入直线方程,得?=?-6,∴a=?,∴m=-6,a=?. (2)由(1)知抛物线C1的方程为y=?x2,焦点F(0,?). 设A(x1,??).由(1)知以A为切点的切线方程为y=?x1(x-x1)+ ??. 令x=0,得点B的坐标为(0,-??), ∴?=(x1,??-?),? =(0,-??-?). ∴ ?= ?+ ?=(x1,-3), ∵F(0,?),设M(x,y),∴? =(x,y-? )=(x1,-3), ∴y=-?,即M点在定直线y=-?上. 例4　已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为F(2,0),点P的坐标为(m,0)(m≠0),设过点P的直线l交抛物线C于A、B两点,点P关于原点的对称点为点Q. (1)当直线l的斜率为1时,求△QAB的面积关于m的函数表达式. (2)试问在x轴上是否存在一定点T,使得TA,TB与x轴所成的锐角相等?若存在,求出定点T的坐标;若不存在,请说明理由. 题型4　直线与抛物线的位置关系 【分析】(1)先根据条件求得抛物线方程及点Q的坐标,然后直接用点斜式写出直线方程,与抛物线方程联立,消去y,注意判别式要大于0,灵活应用根与系数之间的关系求得弦AB的长,利用点到直线的距离求得△QAB的高,即可计算出△QAB的面积关于m的函数表达式;(2)假设存在定点T(t,0),根据条件TA,TB与x轴所成的锐角相等,知直线TA,TB的斜率互为相反数,然后用点斜式设出直线方程,与抛物线联立,消去y,运用根与系数之间的关系即可获解. 【解析】(1)由条件知,抛物线C的方程为y2=8x,直线l的方程为y=x-m,点Q的坐标为(-m,0), 由? 得x2-2(m+4)x+m2=0.① 由①式的判别式Δ0,得m-2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(m+4), x1x2=m2, |AB|= ?|x1-x2|= ??=8 . 又因为点Q(-m,0)到直线l的距离d= ?|m|,所以△QAB的面积S =? ·? ·|m|·8? =4 ?· ?,其中m -2且m≠0. (2)l方程为y=k(x-m), 由 ?得k2x2-2(mk2+4)x+k2m2=0.② 设A(x3,y3),B(x4,y4),则x3+x4=? ,x3x4=m2. 设点T存在,其坐标为(t,0). 由TA、TB与x轴所成的锐