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矢量分析与场论-标量场 天津大学课件 流体力学基础
1.4 标量场 (Scalar Field);1.4.1 标量场的等值面 (Isoline);;1.4.2 方向导数 (Directional Derivative);物理意义：①是标量函数u(P)在一个点处沿某一方向对距
离的变化率
②
计算公式
在直角坐标系中， 设函数u=u(x, y, z)在P0(x0,y0,z0)处可微，则有 ：
;将上式两边同除以Δl并取极限得到方向导数的计算公式:
式中， cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
实际应用：计算函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率
（定点且定向）
;⑴ 梯度的定义
物理意义：描述标量场u在定点P的不同方向上的变化率
定义：矢量G
记为：
引入▽，在直角坐标系中， 梯度又可以表示为：
;引入标量拉普拉斯算子， ▽2=▽·▽
在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为：
⑵ 梯度的性质
①
② 梯度是其等??面的法向矢量
③ ▽×▽u≡ 0
表明：如▽×F= 0 ,则F=▽u。标量函数u称为势函数，
矢量函数F称为有势场。;⑶ 梯度的积分
斯托克斯定理: (F：无旋场)
;积分与路径无关， 仅与始点P1和终点P2的位置有关
应用：如果已知一个无旋场， 选定一个参考点， 求得其标
量场u
;
;1.5 亥姆霍兹定理 (Helmholtz Theorem);矢量场 A;矢量场的基本方程;1、课本P19的习题1.13、1.17、1.19；
2、课本P20的习题1.25
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