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再谈“点到直线距离公式”的几种向量证法及其反思 郭信国 （浙江省鄞州区古林职业高级中学 315177） 点到直线距离公式是解析几何中的一个重要公式，对这一公式的证明有好多老师做了研究。之所以引起这么多老师去探究，是因有些传统证法虽思路自然，但运算较繁，或有些方法对知识或思维层次要求太高，让学生可望而不可及。因此能否简化证明过程，找到切合学生实际的证法成了众多老师的追求。 一、点到直线距离公式的传统证法 点到直线距离公式传统证法常见的有这样几种：1、直接法（利用点到直线的距离概念，求出点到垂足间距离 ）；2、面积法（书本证法）；3、整体法（利用整体思想，直接构造以为元的方程）；4、最值法（点到直线的距离是该点到直线上任一点距离的最小值）；5、柯西不等式法； 6、向量法。 二、对传统证法的反思 方法1运算量大，思维要求较低，处于学生的核心地带，对于提高学生数学能力意义不大。方法3简化了运算过程，但思维层次较高。方法4是通过建立该点到直线上任一点距离二次函数关系式，求二次函数的最小值，但运算量大，运算整理要求也很高。方法5柯西不等式法技巧性强，难度大。课本上是通过构造直角三角形利用三角形面积公式推导，这种证明方法的优点是容易想到，但在构造直角三角形需对直线的一次项系数斜率进行讨论。方法6随着向量学习研究的不断深入，向量在沟通代数、几何、三角越来越显示出它的优越性。 新课程越来越强调教学设计，根据教学内容和学习者的特征分析确定教学的起点。老师提出的问题要做到，既不能是太容易，也不能太难，让学生无法理解。要符合思维“最近发展区”的原则，让学生通过一定的努力可以解决。数学问题若脱离学生原有的知识水平，就会让学生望而生畏。那么老师介绍的方法再好，学生更多的只是欣赏老师魔术师般的表演。数学活动除了问题要有思维价值，也要体现思维活动规律特点。本文在这一思想的指导下，补充“点到直线距离公式”的几种向量证法，虽然大同小异，但用到向量的不同知识点，且学生容易掌握，对巩固向量知识也有好处，不失为好的证法。 三、 再谈“点到直线距离公式”的几种向量证法及反思 思路1：（书本证法）利用（即在方向上的投影等于同与同方向的单位向量的内积，在方向上的投影长度等于同与同方向的单位向量的内积的绝对值）。 如图1，在上任取一点，到直线的距离为，即为向量在直线法向量方向上的投影长度．向量是直线的一个法向量，与向量同方向的单位向量为，则 　　　　∵点在直线上， ∴即　∴ 反思：之所以首选书本投影法是因这种方法还可延伸推广到空间中求有关点线面间的距离问题。 （１）若是平面的法向量，为平面内任一点，为平面外一点，则表示点平面的距离。 （２）若与两条异面直线、都垂直，为直线上任一点，直线上任一点，则表示两条异面直线、的距离。 （３）若直线∥平面，是平面的法向量，为平面内任一点，直线上任一点，则表示直线到平面的距离。 （４）若平面∥平面，是平面的法向量，为平面内任一点，为平面内任一点，则表示平面到平面的距离。 思路2：到直线的距离是到直线上的点的最小距离，利用向量内积不等式，求出的最小值。 在上任取一点，向量是直线的一个法向量，由向量内积不等式 ， ∴ 取等号时取得最小值。以下同解法1（略）。 反思： 到直线的距离是到直线上的点的最小距离，转化为的最小值，此法思路清晰，但比传统证法中通过建立二次函数关系式求最小值，其运算要简便许多， 也体现了向量在沟通数与形中所发挥的重要作用。 如果把上述向量不等式稍加变形， 即有 ∴ ， 这其实就是用柯西不等式证点到直线的距离公式。但不如用向量不等式来得亲切自然，技巧性要求与难度也大大降低。 思路3：如图2，过点作垂直于直线，垂足为点Q，利用向量与直线法向量共线，则，，只要确定即可。 确定方法1： 设 ， ∵点在直线上，∴ ∴ ∴ ∴ 确定方法2： ，∴， ∴ ∴ 　 ∵点在直线上， ∴ ∴即　 ∴ 反思：利用向量与直线法向量共线，，只须确定。本方法主要着眼于共线向量的长度关系，在确定的过程中，直观性、简洁性都不如前两种方法。 思路4：利用向量与共线时，向量与的夹角， 过点作垂直于直线，垂足为点Q，利用向量与直线法向量共线，则向量与的夹角为或． 由向量的数量积得，即， ． ∵点在直线上， ∴即　∴ 反思：本方法虽然也着眼两向量共线，但它结合了在方向上的投影，使得解答过程简单明了。 追求简单、自然的解题，不但需要知识方法的积累，还需要我们艰苦探索，要善于从题目的已知与未知之间采集有用的信息，这些信息与不同的数学知识结合，从不同的角度考虑，会形成不同解题方向，而最终往往会“殊途同归”，得到问题简单自然的本质解法；其次不能轻视解题后的反思带来的一些微不足道的改变，它是我们分析问题、解决问题的重要途径，