抛物线的正焦弦.PPTVIP

F (y?1)2 = 12(x?1) x = ?2 9 9 H A(1,1) P(a, b) 馬上練習：設 F 為拋物線 (y?1)2 = 12(x?1) 的焦點， 若 P(a , b) 在拋物線上， 解：(y ? 1)2 = 12(x ? 1) = 4?3(x ? 1) ∵ 頂點為 A(1, 1) ? c = 3 又 c = 3 ∴ 焦點 F(4, 1)， 且準線 L：x = ?2， (4, 1) ＃ L：x = ?5 O y x O1(7, 1) O2(?2, 13) 3 12 F 3. 範例：已知坐標平面上圓 O1：(x?7)2 + (y?1)2 = 144 解： ? 兩圓外切。 設拋物線焦點 F， ∵ 拋物線通過 O1 與 O2 且準線 L：x = ?5 故焦點 F 恰為兩圓的切點 且同時通過 O1 與 O2 的圓心，求 ? 的焦點坐標。 直線 L：x = ?5 相切。若 ? 為以 L 為準線的拋物線， 與 O2：(x+2)2 + (y?13)2 = 9 相切，且此兩圓均與 Let’s do an exercise ! 馬上練習：在坐標平面上，過 F(1, 0) 的直線交拋物線 ?：y2 = 4x 則 P 點的 x 坐標為_____。（化成最簡分數） O P F(1, 0) y2=4x x x = ?1 3k A Q 2k B 3k 2k H m n a b 於 P，Q 兩點，其中 P 在上半平面上， 解：y2 = 4x 的焦點 F(1, 0)，準線 L：x = ?1， 95學測 ＃ 1 y F y = ?2 L：y = ?5 y + 2 3 P(x, y) x2 = 8y P 99學測 4. 範例： 坐標平面上給定點 ?：x2=8y。 以 d(P, L) 表示點 P 到直線 L 的距離。 若點 P 在 ?上變動， 解：x2 = 8y 的焦點 F(0, 2)， 準線 y = ?2，設動點 P(x, y)， 當 F、A、P 三點共線時， 直線 L：y = ?5 與拋物線 A ＃ F(2,1) x?y?1=0 A(0,1) x+y+1=0 P(x,y) S 五、拋物線的作圖與軌跡 1. 範例： 求：(1) 對稱軸方程式 (2) 頂點坐標 (3) 正焦弦長。 ? 頂點 A(1, 0)。 且頂點為 F(2, 1) 與 S(0, ?1) 的中點 (2) 準線 x + y + 1 = 0 與對稱軸 x ? y ? 1 = 0 相交於 S(0, ?1)， 解：(1) 方程式表動點 P(x, y) 到點 (2, 1) 的距離 等於 P(x, y) 到直線 x + y + 1 = 0 的距離。 故圖形為拋物線， 焦點 F(2, 1)， 準線為 x + y + 1 = 0。 設對稱軸為 x ? y + k = 0。(垂直準線) 又過 F(2, 1)，得 k = ?1， 故對稱軸 x ? y ? 1 = 0。 ＃ * 焦點 F 準線 L P L F 1. 拋物線的定義： 在一平面上，設有一定直線 L 及不在 L 上的一定點 F， 一、拋物線的意義 則在此平面上所有到直線 L 的距離等於到點 F 距離的 動點 P 所成的圖形稱為拋物線， 其中直線 L 稱為準線，點 F 稱為焦點。 本段結束 F 軸 正焦弦 弦 焦弦 頂點 2. 拋物線的元素： 對稱軸：過焦點與準線垂直的直線，簡稱為軸。 正焦弦：通過焦點且與軸垂直的弦。 焦弦：通過焦點的弦。 與焦點之連接線段。 焦半徑：拋物線上的任一點 焦距：頂點到焦點的距離。 頂點：軸與拋物線的交點。 本段結束 注意： 3. 拋物線的正焦弦：拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍。 證明：由拋物線的定義可知： 因此四邊形 BMHF 與 FHNC 均為正方形， 2k F k B L M H A C N ＃ 4. 範例：右圖為一拋物線的部分圖形，則 A，B，C，D，E 解：拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍。 故最接近焦點的是 C 點。 k 2k E D C B A 五個點之中，那一點最接近焦點。 Let’s do an exercise ! 準線 馬上練習：右圖為一拋物線的部分圖形， 則 A，B，C，D，E 五點位置 與焦點之距離的大小順序為何? 注意：頂點是拋物線上與焦點距離最近的點。 由大到小的順序為 A，E，D，B，C。 故 A，B，C，D，E 五點 等於到準線的距離。 解：拋物線上的點到焦點的距離 與焦點的距離 E A B C D F ＃ O P(x, y) F(c,0) c 0 L：x= ?c x y O P(x, y) F(c,0) c 0 L：x= ?c x y 1. 水平軸的拋物線：坐標平面上，一拋物線的頂點在原點， 則拋物線的方程式 y2 = 4cx。 對稱軸為 x