多元函数微分学教案全.DOC

授课单元9教案 授课单元名称 多元函数积分学 授课学时 5 单元教学 目标 知识目标 1、理解二重积分的概念，了解其性质； 2、掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法； 3、会用二重积分解决简单的应用题（体积、质量） 能力目标 弄清二重积分所解决的问题（即与二元函数有关总量的模型）。 主要教学 知识点 1、二重积分的概念和性质 2、直角坐标系下二重积分的计算。直角坐标系下二重积分交换积分次序。 3、二重积分的微元法及其简单应用二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 课 1、【定义】: 设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域 任意分成个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，，并作和 ，如果当各小闭区域的直径中的最大值时，这和式的极限存在，且此极限与小区间的分法以及点的取法无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为 ，即 . 其中：① 称为被积函数, ② 称为被积表达式,③ 称为积分变量, ④ 称为面积元素, ⑤ 称为积分区域, ⑥ 称为积分和. 2、面积元素 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域,则面积元 素为 故二重积分可写为 . 3、【二重积分存在定理】 设是有界闭区域上的连续函数,则存在二重积分. 4、二重积分的几何意义 (1)当被积函数时,二重积分表示以为顶,以为底面的曲顶柱体的体积． (2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数． 二、二重积分的性质 假设被积函数在有界闭区域上连续. 1．, 为常数. 2．. 设为常数则上述两式合并为. 3．(二重积分对区域可加性) , . 4．, 为的面积. 5．(积分不等式)若,则 . 推论: . 6．(积分估值定理)设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，则 . 7．(积分中值定理)设函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得 . 8．设区域，且与关于轴对称； （1）当关于是偶函数时即时，有 . (2) 当关于是奇函数时即时，有. 类似有设区域，且与关于轴对称； 当关于是偶函数时即时，有 . (2) 当关于是奇函数时即时，有 . 三、应用举例 例1 比较与 的大小,其中 . 解：如图,由于点在上,过点的切线 为,那么在上有 , 所以 . 例2 设,, ,其中,则 (A) (B)(C) (D) 答　(A).因为在区域上，, 所以 , 从而 , 故 . 例3设,当( 　 )时,. (a) (b) (c) (d) 答 (b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为的上半球体的体积.由得选(b). 例4当是由( 　 )围成的区域时,. (a)轴,轴及 (b),及, (c), (d), 答　(a,b,c).因为表示积分区域的面积为,故只需考察哪些选项积分区域的面积为. 即可选(a),(b),(c). 例5 判断的正负. 解：在区域上有且等号不恒成立，所以且等 号不恒成立， 故. 例6估计积分值. 解：. 例7. 用适当符号连接. 解：在上有,在上. 又由，由， 故 . 小结：1. 定义为二重积分. 2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积. 3.正确运用各条性质进行判断、计算 作业：P39 1 课 第2节　 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分 先介绍区域的表示： X((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( a(x(b ( Y ((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( c(y(d ( 设f(x( y)(0( D({(x( y)| (1(x)(y((2(x)( a(x(b}( 此时二重积分在几何上表示以曲面z(f(x( y)为顶( 以区域D为底的曲顶柱体的体积( 对于x0([a( b]( 曲顶柱体在x(x0的截面面积为以区间[(1(x0)( (2(x0)]为底、以曲线z(f(x0( y)为曲边的曲边梯形( 所以这截面的面积为 ( 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法( 得曲顶柱体体积为 ( 即 V(( 可记为 ( 类似地( 如果区域D为Y ((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( c(y(d ( 则有 ( 例1( 计算( 其中D是由直线y(1、x(2及y(x所围成的闭区域( 解( 画出区域D(