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运用微微对偶不等式证明一类齐次轮换对称不等式
數學傳播 40卷 3期, pp. 44-49 運用微微對偶不等式證明一類 齊次輪換對稱不等式 徐彥輝 1. 引言 筆者最近發現五個形似不等式, 即: 4 4 4 a + b + c + 命題 1: 設 a,b,c ∈ R , 求證: a + b + c ≤ . abc a + b + c 1 1 1 + ≤ + + . 命題 2([1]): 設 a,b,c ∈ R , 求證: abc a2 b2 c2 1 8 8 8 1 1 a + b + c + 命題 3([2]): 設 a,b,c ∈ R , 求證: + + ≤ 3 3 3 . a b c a b c 12 12 12 a b c + 10 10 10 命題 4: 設 a,b,c ∈ R , 求證: a + b + c ≤ + + . bc ca ab 5 5 5 a + b + c + 2 2 2 命題 5: 設 a,b,c ∈ R , 求證: a + b + c ≤ . abc 3 3 3 a b c 其中, 命題 1 可由 + b + c ≥ 3a, + a + c ≥ 3b, + a + b ≥ 3c, 三式相加即證 bc ac ab 得, 文 [1] 給出了命題 2 的一種證法, 文 [2] 給出了命題 3 一種巧妙而不簡單的證法。 筆者由 這五個不等式的相似性, 總覺得可以找到一種統一的方法證明這五個不等式。 最後, 筆者終於找 到了運用微微對偶不等式可以統一證明這五個形似不等式, 並且還可以對這五個不等式進行推 廣。 為此, 先給出微微對偶不等式。 44 運用微微對偶不等式證明一類齊次輪換對稱不等式 45 2. 微微對偶不等式
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