创意平板折叠桌的数学原理及其应用-云南民族大学学报.pdfVIP

云南民族大学学报：自然科学版，２０１５，２４（４）：２９４－２９９ ＣＮ５３－１１９２／Ｎ　ＩＳＳＮ１６７２－８５１３ ｄｏｉ：１２．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８５１３．２０１５．０４．００９ ｈｔｔｐ：／／ｘｂｙｎｎｉｅｄｕｃｎ 创意平板折叠桌的数学原理及其应用 １ ２ １ １ 卢　鹏 ，李　涛 ，张兴元 ，徐昌贵 （１西南交通大学峨眉校区基础课部四川峨眉６１４２０２；２西南交通大学牵引动力国家重点实验室四川成都６１００３１） 摘要：采用连续和离散的方式，建立了以直纹曲面方程的连续型变化模型和以几何知识切入的离 散化动态模型，通过交线投影的方法，利用几何关系对开槽长度和桌脚边缘线进行数学描述，并 对２种方法的结果进行了分析． 关键词：创意折叠桌；直纹曲面；动态变化；连续与离散 中图分类号：Ｏ２９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－８５１３（２０１５）０４－０２９４－０６ 　　桌子是人们日常生活的必需品，随着社会经济的迅速发展，人们生活 水平日益提高，如今对桌子的需求不仅停留在功能上能盛放物品，更注重 于其外形美观性设计以及使用、存放方便性．目前有公司生产一种桌面呈 圆形的可折叠桌子［１］，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板．桌腿由 若干根木条组成，分成２组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分 别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动 的自由度．这种木桌外形由直纹曲面构成，其独特造型以及其外形设计很 受人们喜爱，如图１所示． 因此研究折叠桌展开的动态变化过程对其美观设计很有必要．本文 通过分析折叠桌的数学原理，研究了在给定长方形平板长、宽、厚、以及展 开后桌面高度一定的情况下，折叠桌的动态变化过程描述，以及在此基础 上给出此折叠桌的桌腿木条开槽长度设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述，并进一步分析连续型和离散 ［２－４］ 型变化过程，以及两种研究的误差．最后通过三维软件ＳｏｌｉｄＷｏｒｋｓ 对给出的木板参数进行实物仿真． １　问题分析 １１　对直纹曲面的分析 １）直纹曲面：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线，如果曲面方程为ｒ＝ａ （ｕ）＋ｖｂ（ｕ），其中ｂ（ｕ）为单位向量，则称此曲面为直纹面［５］． ２）直纹曲面参数方程［６－８］：直纹面上任意一条与所有直母线都相交的曲线Ｃ称为直纹面的导线，其参 数表示为ａ＝ａ（ｕ），如图２所示．设ｂ（ｕ）是过导线Ｃ上ａ（ｕ）点的直母线上的单位向量，导线Ｃ上ａ（ｕ）点到 直母线上任一点Ｐ（ｕ，ｖ）的距离为 ｖ，ＯＰ＝ｒ表示为： ｒ＝ａ（ｕ）＋ｖｂ（ｕ）． 其中：ｖ线是直纹面的直母线，ｕ线是与导线Ｃ平行的曲线． １２　对本文问题的分析 桌子外形由直纹曲面构成．首先，认为每根木条厚度足够薄，利用直纹曲面方程可以求出理想化桌子外 形的直纹曲面参数方程．其次，利用桌腿最外侧木条与地面的夹角变化以及其高度限制，每根木条开槽长度 方程，以及描述桌脚边缘线方程，从而描述出此折叠桌面的动态变化过程．最后，再对连续化的直纹曲面方程 收稿日期：２０１５－０１－２３． 基金项目：国家自然科学基金． 作者简介：卢鹏（１９８３－），男，硕士，讲师．主要研究方向：数学建模与粗糙集． 第４期　　　　　　　　　　　　卢　鹏，李　涛，张兴元，等：创意平板折叠桌的数学原理及其应用 ２９５ ［９］ 离散化 ，表述出实际折叠桌每根木条的动态变化过程以及桌脚边缘线、开槽长度． ２　连续性模型的建立 ２１　直纹曲面动态变化模型建立 理想情况下假设木条长度为连续变化，即桌子在展开后是连续曲面，因此在桌子展成平面的情况下，设 桌面的半径为Ｒ，木板长度为４ｌ．由于两侧桌腿呈对称变化，故在此考虑一侧桌腿变化情况，钢筋所在直线为 ＡＢ，且Ａ ｌ，Ｒ、Ｂ ｌ，－Ｒ．建立如图３所示平面直角坐标系． ０ ０ ０( ) ０( ) 桌子折叠后以桌面为基准面，桌面中心为坐标中心，木板长度方向