高斯有色噪声中的谐波恢复-read.doc

非高斯有色噪声中的谐波恢复 ——复数情形 预滤波方法的关键步骤是噪声模型的建立。噪声模型的建立依赖于这样一个条件，即信号的三阶累积量为零，同时噪声的三阶累积量不为零。这样，就可以从含噪信号中单独提取出噪声特征，建立噪声模型。但是，正如上一章所研究的，当谐波信号中存在二次相位耦合时，信号的三阶累积量不为零；且当噪声对称分布时，噪声的三阶累积量为零。在这两种情况下，噪声模型无法建立，预滤波方法也就不再适用。 下面研究非高斯有色噪声中的谐波恢复问题，特别是当噪声为对称分布和谐波信号存在二次相位耦合时的谐波恢复问题。本章假定观测值是复数过程，实数情形在下一章研究。 应用预滤波方法由含噪观测值估计非高斯噪声模型参数时，谐波信号起到干扰的作用。因此关键问题在于使信号(无论是否存在二次相位耦合)的累积量为零，同时噪声(无论何种分布)的累积量不为零，且此累积量应满足高阶Yule-Walker方程。针对这一问题，本章利用复数过程的高阶统计量具有多种定义方式的特点，定义了一种特定的四阶矩来满足上述要求。使用该四阶矩，通过SVD-TLS方法求解高阶Yule-Walker方程来建立噪声模型的AR参数，然后对含噪观测值滤波，进而恢复谐波信号参数了。提出的这种方法在复数域解决了当非高斯噪声为对称分布和谐波信号中存在二次相位耦合时的谐波恢复问题。 §5.1　 观测模型 设零均值有噪观测值为 　　　　　　　　　　 (5.1) 其中，为复数谐波信号 (5.2) 为谐波数目，和分别为第个谐波分量的幅度、归一化频率和随机 初始相位，这里相互独立且在上服从均匀分布。观测噪声为非高斯ARMA过程，即 　　　　　　　　　 (5.3) 或。其中，，为后移因子，即。 对于噪声模型有如下假设： 噪声模型的传递函数是指数稳定的且不存在零极点相消。 为零均值、平稳的独立同分布复数非高斯白噪声。 和相互独立。 谐波恢复的目的就是由含噪观测值来估计谐波数目，谐波频率和谐波幅度。 §5.2　 谐波信号的高阶累积量特性 噪声中谐波恢复(RHN)，波达方向估计(DOA)以及宽带源信号时延估计(TDE)等许多问题都可用下面的模型描述 　　　　　　 (5.4) 其中，为信号波形(通常已知)，为未知常数，为非高斯随机过程或随机变量，为加性，且与相互独立。在RHN问题中，如果信号包含个复数谐波分量，且谐波频率各不相同，则，，其中和为未知常数，为独立地服从同一分布的(i.i.d.)随机变量且在上服从均匀分布，此时称作复数谐波信号 (5.5) 如果包含个实数谐波分量，则 (5.6) 称作实数谐波信号。 谐波信号的高阶累积量特性 复数过程的阶累积量，根据累积量各项取共轭与否有种不同的定义方式。 定理5.1　设随机变量在上服从均匀分布，则的各阶累积量分别为： (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) 由累积量定义易证上述各式成立。对于一般的如式(5.5)或式(5.6)的谐波信号其三阶累积量恒等于零，即 (5.11) 上式说明高斯噪声中的谐波恢复问题不能用三阶累积量信息来处理。在RHN问题中复数谐波信号的四阶累积量定义如下 　　　　　 (5.12) 定义零均值复数平稳随机过程的自相关函数为 (5.13) 　　定理5.2　对于式(5.5)中的复数谐波信号，其四阶累积量为 (5.14) 四阶累积量一维对角切片为 (5.15) 的自相关函数为 (5.16) 如果定义广义复数谐波信号为 (5.17) 容易证明，谐波信号四阶累积量的一维对角切片正好同具有相同频率及相应幅度的广义谐波信号的自相关函数相等(若不考虑因子－1) 　 (5.18) 对实数谐波信号有类似结论成立。 线性预测方程 式(5.5)中复数谐波信号满足具有零输入的模型 (5.19) 其中，且多项式的根为。而式(5.6)中实数谐波信号