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专题九 选修4-5 不等式选讲 1、若函数的最小值为5，则实数a=_______. 2、 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|，a0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 3、若，且. (Ⅰ) 求的最小值； （Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由. 4、已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．,=. （Ⅰ）当=2时，求不等式＜ （Ⅱ）设＞∈[，)时，≤,求的取值范围. 6、设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1.设均为正数，且证明： （），则； （）的充要条件． 8、已知，函数的最小值为4． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的最小值． 9、已知关于的不等式的解集为． （I）求实数，的值； 的最大值． 10、设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 设函数f(x)＝＋|x－a|(a0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)5，求a的取值范围． 已知m≥0，函数f(x)＝2|x－1|－|2x＋m|的最大值为3. (1)求实数m的值； (2)若实数a，b，c满足a－2b＋c＝m，求a2＋b2＋c2的最小值． 或时可能取得最小值，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或. 2、【解析】 （Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|＞1， 等价于或或解得 所以不等式f(x)1的解集为 （Ⅱ）由题设可得，， 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，所以△ABC的面积为 由题设得＞. 所以的取值范围为 3、（I）由，得ab2，且当a=b=时等号成立 故 所以的最小值为 （II）由（I）知，2a+3b 由于＞6，从而不存在a，b，使得2a+3b=6 4、 5、【解析】当=-2时，不等式＜化为， 设函数=，=， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是. （Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为， ∴对∈[，)都成立，故，即≤， ∴的取值范围为（-1，]. 6、证明：本题主要考查不等式的证明与均值不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力与推理论证能力． (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1.（），，由题设，，得．因此． （），则．即．因为，所以，由（）． （ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件． 8、【解析】(Ⅰ)因为，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为, 所以． (Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 即. 当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为. 9、故. 10、解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为 |x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得 |x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}． 由题设可得－＝－1，故a＝2. 解：(1)证明：由a0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．所以f(x)≥2. (2)f(3)＝＋|3－a|. 当a3时，f(3)＝a＋， 由f(3)5得3a. 当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋， 由f(3)5得a≤3. 综上，a的取值范围是. 解：(1)f(x)＝2|x－1|－|2x＋m|＝|2x－2|－|2x＋m|≤|(2x－2)－(2x＋m)|＝|m＋2|， ∵m≥0， ∴f(x)≤|m＋2|＝m＋2， ∴f(x)max＝m＋2， 又f(x)的最大值为3， ∴m＋2＝3，即m＝1. (2)根据柯西不等式得：(a2＋b2＋c2)[12＋(－2)2＋12]≥(a－2b＋c)2， ∵a－2b＋c＝m＝1， ∴a2＋b2＋c2≥， 当＝＝，即a＝，b＝－，c＝时取等号， ∴a2＋b2＋c2的最小值为. 2