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大连海事大学2012年数学建模竞赛 乙组论文 生产线问题 2012年月日 摘 要 1. 问题重述：生产线问题 自动化生产线上生产设备的布局，既要考虑工序的安排，又要考虑生产效率。 现有一条小型的日用品自动生产线，它由A、B、C三台机器组成，每台机器具有2~3个档级的生产速度(产品数/小时)，每个速度档级的能耗也有较大差异。 已知三台机器的速度档级和相应的能耗如表1所示，各机器速度档级组合与整条生产线生产速度(产品数/小时)之间的关系如表2所示。 问题一：请问题二：请 问题三：一生产模式。问题四：你能制定一个重要性指标以这个指标来评每对生产线的重要性？ B C 生产速度 第１档级 3千瓦/小时 3千瓦/小时 2千瓦/小时 第2档级 5千瓦/小时 6千瓦/小时 3千瓦/小时 第3档级 / / 4千瓦/小时 表2 各机器速度档级组合与生产线生产速度之间的关系 A机器 B机器 C机器 整条生产线生产速度 (产品数/小时) 1档 档 档 300 档 档 档 400 档 档 档 400 档 档 档 300 档 档 档 600 档 档 档 600 档 档 档 300 档 档 档 500 档 档 档 500 档 档 档 300 档 档 档 600 档 档 档 700 V=min{vA，vB，vC} V=vA+vB+vC V=vA+min{vB，vC} V=vB+min{vA，vC} V=vC+min{vA，vB} V=min{vB+vC，vA} V=min{vA+vC，vB} V=min{vA+vB，vC} 5. 模型的求解 5.1 问题一 5.1.1 串联方式 对于串联方式，参照表2，由函数关系得： V6=min{vA1，vB2，vC3}=600；V9=min{vA2，vB1，vC3}=500；V11=min{vA2，vB2，vC2}=600； 相应可得，vA1≥600；vB1≥500；vC2≥600，则必有min{vA1，vB1，vC2}≥500。 然而由表2，V2=min{vA1，vB1，vC2}=400，与此矛盾，所以三台机器不是串联方式。 5.1.2 并联方式 对于并联方式，参照表2，由函数关系得： V2= vA1+vB1+vC2 =400； V3= vA1+vB1+vC3=400； 这显然是不成立的，所以三台机器不是并联方式。 5.1.3 先串后并方式 若B、C串联后与A并联，则有函数式V=vA+min{vB，vC}。参照表2， V1=vA1+min{vB1，vC1}=300； V2=vA1+min{vB1，vC2}=400； 可得 V1=vA1+vC1=300。 同理， V7=vA2+min{vB1，vC1}=300； V8=vA2+min{vB1，vC2}=500； 可得 V7=vA2+vC1=300。 显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。 同理可得A、C串联后与B并联，以及A、B串联后与C并联都不符合条件。 5.1.4 先并后串方式 若B、C并联后与A串联，则有函数式V=min{vB+vC，vA}。参照表2， V1=min{vB1+vC1，vA1}=300； V2=min{vB1+vC2，vA1}=400； 可得V1=vB1+vC1=300。 同理， V4=min{vB2+vC1，vA1}=300； V5=min{vB2+vC2，vA1}=600； 可得V4=vB2+vC1=300。 显然是矛盾的，所以三台机器不是此种连接方式。同理可得A、C并联后与A串联也不符合条件。 最后推理A、B并联后与C串联的连接方式。有函数式V=min{vA+vB，vC}。参照表2， V1=min{vA1+vB1，vC1}=300； V2=min{vA1+vB1，vC2}=400； V3=min{vA1+vB1，vC3}=400； 可得 V1=vC1=300； V2=vA1+vB1=400。 同理可得 V11=vC2=600； V5=vA1+vB2=600； V8=vA2+vB1=500。 对于第12组档级组合，V12=min{vA2+vB2，vC3}=700，无论vA2+vB2=700还是vC3=700，都可以解由上面的等式所组成的线性方程组，得到 vA1=600-x； vA2=700-x； vB1=x-200； vB2=x。 所以，此种产品的工序为先经过A或B再经过C，或者先经过C再经过A或B，三台机器在整条生产线上的布局如图所示，它们各个档级的生产速度为 vA1=600-x； vA2=700-x； vB1=x-200； vB2=x； vC1=300； vC