垂直关系经典讲义.docVIP

立体几何之垂直关系 一、基础知识： 1.线线垂直的定义：两条直线成直角（包括相交和异面） 2.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面，和平面内的任意一条直线都垂直线线垂直） 3.线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面： . 4.线面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α?a∥b） ②线面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（） 5.面面垂直的定义：两个平面所成的二面角为直角 6.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂, 7.面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 二、基本方法： 8.线与线垂直： （1）定义（即两直线成直角） （2）线面垂直的性质： （3）若两直线共面，可用勾股定理或等腰三角形的三线合一 （4） 9.线面垂直 （1）定义（直线a与平面α内的任意直线都垂直） （2）判定定理： . （3）面与面垂直的性质： （4） （5） 10.面面垂直： （1）定义：两平面成直二面角 （2）判定定理： 空间垂直的证明中的找线技巧 一、线面垂直 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直再线面垂直 1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD 利用面面垂直寻求线面垂直 2 、如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 利用线线垂直证明线面垂直 3、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD 4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证明：A1C⊥平面BC1D 二、线线垂直 利用线面垂直证明线线垂直． 1、 如图所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 利用三垂线定理证明线线垂直 2、空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD 3、如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： 4、如图，直角BAC在外，，，求证：在内射影为直角。 三、面面垂直 利用线面垂直证明面面垂直 1、如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC． 若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 面面垂直的其他方法 2、如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．