度量空间的大尺度几何与高指标问题.PDFVIP

第28 卷第1 期 上海第二工业大学学报 Vol.28 No.1 2011 年3 月 JOURNAL OF SHANGHAI SECOND POLYTECHNIC UNIVERSITY Mar. 2011 文章编号:1001-4543(2011)01-0001-07 度量空间的大尺度几何与高指标问题 黄 渊 ，王 勤 ，王显金 （东华大学理学院应用数学系 ，上海201620 ） 摘 要：粗几何上的指标理论是“非交换几何”领域近年来非常活跃的研究分支，与几何、拓扑、算子代数、几何 群论、Banach 空间几何理论等都有密切联系。对该领域的若干思想、主要问题和部分必威体育精装版研究进展进行综述性介绍。 关键词：粗几何；非交换几何；算子代数；指标理论 中图分类号：O177.1 文献标志码：A 0 前言 粗几何上的指标理论是“非交换几何”领域最近二十年来发展起来的重要研究分支。它孕育于非紧流 形上的指标理论，其主要目标是通过几何空间的大尺度几何结构探索指标代数（即Roe 代数）的K-理论群 的信息，从而建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并用于解决其他重要问题，如Novikov 猜测、 Gromov-Lawson-Ronsenberg 正标量曲率猜测、群C*-代数幂等元问题等。 用粗几何的观念研究非紧空间上的指标问题，这种想法来源于指标定理的热方程方法。事实上，非紧 流形上广义椭圆算子的K-理论指标并不依赖于流形的局部几何，而是依赖于流形的大尺度几何结构，即流 形的粗几何。在几何空间上通过控制局部紧算子的传播而产生的 C*-代数，即 Roe 代数，恰好反映了几何 空间的粗结构特征；广义椭圆算子的K-理论指标就是落在Roe 代数的K-群之中。从几何空间的一个容易计 算的几何不变量，即粗K-同调群，到Roe 代数的K-理论群有一个指标映射，粗Baum-Connes 猜测断言这 个指标映射为同构，粗Novikov 猜测断言这个指标映射为单同态，这些猜测提供了计算Roe 代数K-理论群 或判断广义椭圆算子的高指标是否为零的有效途径。因此，粗几何上指标理论的中心目标就是解决粗 Baum-Connes 猜测和粗Novikov 猜测。 本文的目的是对该领域的若干思想、主要问题和部分必威体育精装版研究动态进行综述性介绍。 1 粗几何 设 是一个度量空间。对于拓扑学家来说，这里度量 的意义体现在它产生的开集。但是，这种 (X ,d ) d 从度量到拓扑的过渡，损失了大量的信息。事实上，由度量诱导的拓扑只反映了度量空间的“小尺度”结 构。例如，度量d (x, y) min d (x, y),1 与 定义了同样的拓扑，但 显然失掉了 的尺度大于1 的几何信   d d d 息。粗几何的观念与拓扑的观念则刚好相反，它是从“大尺度”的角度研究度量空间的几何，使得“从遥 远处看起来一样”的两个空间，比如实数直线 和整数格点 ，在确切含义下是等价的。 定义 1.1[1-2] 设 和 是度量空间，映射f :X Y （不一定连续）称为粗映射，如果满足 X Y (1) f 是一致扩张的（uniformly bornologous ）：即对任意R 0 ，存在S 0 ，使对任意x, y X ，有 收稿日期: 2010-09-01; 修回日期: 2010-11-05 作者简介: 黄渊（1987－），女，江西高安人，硕士，主要研究方向为泛函分析。通讯作者王勤简介见文末。 基金项目: 国家自然科学基金（No.No.、上海市曙光计划（No.07SG38 ）和上海市浦江计划 （No.08PJ 1400600）资助项目。 2