全程复习方略2014年人教a版数学理(广东用)配套课件第六章第四节基本不等式.pptVIP

考向3 基本不等式的实际应用 【典例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m． 房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【思路点拨】 用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．但要注意变量x的取值范围为0＜x≤5；判断函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性． 【规范解答】设总造价为y，由题意可得， y＝3(2x×150＋ ×400)＋5 800 ＝900(x＋ )＋5 800(0＜x≤5)， 由基本不等式得y＝900(x＋ )＋5 800 ≥900× ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x＝ ，即x＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低. 【互动探究】本例中，若要求房子侧面的长度x不得少于5 m， 那么侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【解析】设总造价为y，由题意可得， y＝3(2x×150＋ ×400)＋5 800 ＝900(x＋ )＋5 800(x≥5). 由于y′=900(1- )， 令y′0得x4(x-4舍去)， 所以函数在(4,+∞)上单调递增，于是当x=5时，y取得最小值 13 180元. 【拓展提升】注意变量的取值范围 在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值. 【变式备选】 某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元 为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为 万元. 设汽车的年平均费用为y万元，则有 当且仅当 即x=10时，y取得最小值. 答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少. 第四节 基本不等式 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件是________. (2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号. 称为正数a,b的___________， 称为正数a,b的______ ________. (4)语言叙述：两个正数的___________不小于它们的________ ____. a0,b0 a=b 算术平均数 几何 平均数 算术平均数 几何平均 数 2.基本不等式的变形 (1)a+b≥ (a,b0). (2)a2+b2≥____(a,b∈R). (3) 3．利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为 正实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当 ______时成立.简记：和定积最大. 2ab a＝b (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为 正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥____，等号当且仅当 _____时成立.简记：积定和最小. a＝b 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=x+ 的最小值是2.( ) (2)ab≤ 成立的条件是ab0.( ) (3)函数f(x)= x∈(0, )的最小值等于4.( ) (4)x0且y0是 的充要条件.( ) (5)若a0，则 的最小值为 ( ) 【解析】(1)错误.当x0时，函数值一定为负，最小值不是2. (2)错误.当ab0时，仍有 ≥0，因此对于不等式 ab≤ ，当a,b中有0或一个负数时也是成立的. (3)错误. 虽然由基本不等式可得f(x)= ≥ 但由于其中的等号成立的条件是 即cos x=2，但这显然不成立，所以不能说函数的最小值是4. (4)错误.当x0且y0时一定有 但当 时，不一 定有x0且y0，所以x0且y0是 的充分不必要条件. (5)错误.虽有 ≥ ，但不能说 就是 的最小值，因为 的值与a有关，不是一个定值. 答案:(1)×