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数学物理方程 第二章 热传导方程 §1.1 热传导方程的导出 §1 热传导方程及其定解问题的导出 §1.2 定解问题的提法 §1.3 扩散方程 §1-1 热传导方程的导出 物理背景：热传导和扩散等物理现象。 因为温差而引起的热量输运过程称为热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和位置的变化，所以，解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布。 下面，考察空间某个物体G的传导问题。以函数u(x,y,z, t)表示物体G在位置(x,y,z)及时刻t的温度。根据传热学中的傅立叶实验定律，物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面法线方向的方向导数?u/?n成正比，即 其中，k(x,y,z)称为物体在点(x,y,z)处的热传导系数，它应取正值。 (2.1)中的负号出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此， dQ与?u/?n异号。 1.热传导方程的导出 §1-1 热传导方程的导出 在物体G内任取一闭曲面Г，它所包围的区域记为Ω，由(2.1)式从时刻t1到t2流入此闭曲面的全部热量为 这里?u/?n表示u沿Г上单位外法线方向n的方向导数。（这里规定热量流入为正） 流入的热量使得物体内部温度发生变化，在时间间隔(t1，t2)中物体温度从u(x,y,z, t1)变化到u(x,y,z, t2) ，它所应该吸收的热量是 其中c为比热， ρ为密度。因此有下式成立 §1-1 热传导方程的导出 假设温度分布函数u关于变量x,y,z具有二阶连续偏导数，关于具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(2.3)式化为 于是，得到 由于Ω，t1和t2都是任意取定的，因此我们得到 §1-1 热传导方程的导出 上式称为非均匀各项同性体的热传导方程。如果物体的质地是均匀的，那么k，c和ρ均为常数，记k/ρc=a2，可得 如果所考察的物体内部有热源，那么热传导方程的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则在考虑热平衡时， (2.3)式左边需要添加一项 于是，相应于(2.5)的热传导方程应改为 §1-1 热传导方程的导出 (2.5)式称为齐次热传导方程，而(2.6)称为非齐次热传导方程。 热传导方程导出——小结 所要研究的物理量： 温度 根据热学中的傅立叶试验定律 在dt时间内从dS流入V的热量为： 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 热场 流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量： ? 温度发生变化需要的热量为： 热传导方程 热场 从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度分布。因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在给定的初始条件和边界条件下求问题的解。由于方程中只有时间的一阶导数项，因此初始条件的提法很简单，即u(x,y,z,0)= φ(x,y,z)，下面着重讨论边界条件的提法。最简单的情形为物体的表面温度是已知的，这个条件的数学形式为 其中Г为物体的边界曲面，g(x,y,z,t)是定义在该曲面上关于时间的已知函数。 §1-2 定解问题的提法 与前面波动方程一样，边界条件(2.7)式称为第一类边界条件或狄利克雷（Dirichlet）边界条件。 我们考虑另外一种边界情况：在物体的表面上知道的不是它的表面温度，而是热量在表面各点的流速，也就是说表面各点处单位时间单位面积上流过的热量Q已知。根据傅立叶定律 这种情况实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的。这种边界条件的数学形式为 这种边界称为热传导方程的第二类边界条件，又称诺依曼(Neumann)边界条件。 §1-2 定解问题的提法 接下来我们考察第三种情况：物体在边界上与其他传热介质接触，我们能测量到的是与物体接触的介质的温度u1，它和物体表面上的温度u往往并不相同。在这种情况下，边界条件的提法中还必须利用物理学中的另一个热传导实验定律(牛顿定律)：从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比 这里的比例常数k1称为热交换系数，它也取正值。考察流过物体表面Г的热量，从物质内部来看它由傅立叶定律决定，而从介质方面来看则应由牛顿定律决定，因此成立着以下关系式 由于k和k1都是正数，因此这种边界条件的数学形式可以写成 这种边界称为热传导方程的第三类边界条件。 §1-2 定解问题的提法 与弦振动方程比较，这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来，但在数学形式上是完全一样的。 同样的，如果所考察的物体体积很大，而所需要知道的是较短时间和较小范围内的温度变化情