圆周率的计算1.pptVIP

第24届“国际数学家大会”（ICM） International Congress of Mathematicians 中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。 赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的 弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如下图 出入相补原理证明勾股定理 刘徽的“割圆术”与祖冲之的伟大贡献 圆周率即圆的周长与其直径之间的比率。 我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽（公元263年左右）所创立的新方法——“割圆术”。 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周以求取圆周率的方法。在刘徽看来， “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。” 圆周率的计算 圆周率的计算 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（ ）的数值来进行有关圆的计算，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长。 圆周率的计算 刘徽一直算到了圆内接正3072边形的周长，并由此求得圆周率的近似值3.14和 3.1416。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据。 圆周率的计算 刘徽“割圆术”有关的数学知识 刘徽不等式： 现代的组合加速技术 圆面积≈S(2n)＋c[S(2n)－S(n)] 割圆术 圆周率的计算 祖冲之（429－500），南北朝人。他自幼阅读天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于成为我国古代杰出的数学家和天文学家。 圆周率的计算 祖冲之求出π在3.1415926与3.1415927之间。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的, 比祖冲之要晚了一千一百多年。若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，想想这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动！ 圆周率的计算 祖冲之并得出了π分数形式的近似值： 　 取为约率， 取为密率，其小数表示3.1415929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数。在西方密率是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在１６世纪末才得到的，也比祖冲之晚了一千一百年。 圆周率的计算 林群教授猜测的祖冲之求圆周率的外推方法： 圆周率的计算 计算效果： 圆周率的计算 祖冲之获得密率的可能方法： 1）数学史专家猜测由调日法得到。调日法是南朝天文学家何承天提出。 何承天不等式:设 均为正数,如果 ，那么 进一步，则有 这里 均为正整数。 圆周率的计算 找最佳有理数逼近有点象区间套逼近： 2圆周率的高效计算方法的构造 用 的反正切表示和泰勒展开高效计算。 Machin公式（1706年发现）： 反正切泰勒展开公式： 这个算法的优点是简单，而且只需要整数运算。 可用上面的方法并利用计算机为工具，将圆周率的近似值计算到2035位。山克斯在1873年使用Machin公式将圆周率的值计算到707位，其结果到527位为止是正确的，以后的结果有误差。 另一个经过改进的计算公式为: 级数每增加一项，可提高大约14位小数的精度。 1997年，安正金田和高桥利用Hitachi SR2201, 花了29个小时，计算出515亿小数（ ）。 Monte Carlo 方法计算π 单位圆的面积的随机投点算法 求出S=?/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内?x2+y2?1 ?/4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的比值 A S C B O (Ulam) (V.Neumann) (Metropolis) 吴文俊教授的观点：贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。 公理化的思想导源于古希腊，欧几里得《几何原本》是公理化思想代表作，在现代数学尤其是纯粹数学中占据着统治地位。 机械化的思想（算法的构造）则贯穿于整个中国的古代数学。秦汉时代就已成书的《九章算术》，是具有这一思想的代表作，线性联立方程组的解法最早见于此书。 《九章算术》两干多年来一直影响与指导着中国数学的发展，为数学做出了巨大贡献，与欧几里得《几何原本》东西辉映，各呈特色。 以上参考上海交通大学黄建国教授报告