信号处理教程 2011 24学时 第3章.pptVIP

第3章 离散时间信号的傅里叶分析 3.1 离散时间傅里叶变换 DTFT, Discrete-Time Fourier Transform 3.2 离散傅里叶变换 DFT, Discrete Fourier Transform 3.3 截短信号的DFT 3.4 FFT算法 FFT, Fast Fourier Transform 3.1 离散时间傅里叶变换 DTFT的由来 信号x(t)按抽样周期Ts进行抽样得到的抽样信号xs(t)=x(t)??Ts(t)的连续时间傅里叶变换(CTFT)为： 以上两式是—致的，只是表现形式不同而已。 但对于离散时间信号而言，后式更为直观。 直接按后式定义序列x(nTs)的傅里叶变换为： 如果对抽样周期Ts进行归一化处理，归一化为1，则?s将被对应为2?，此时序列的DTFT以及相应的逆变换就是： DTFT的直角坐标形式和极坐标形式 DTFT的直角坐标形式： 偶对称或奇对称信号 若：x[n]是n的偶函数，即：n≧1的整数， x[-n]=x[n], 则： 离散时间信号的频谱 离散时间信号对应连续、周期谱 DTFT反变换 若：信号x[n]及 说明： 在需要明确区别时，把序列的傅里叶变换的正逆变换分别记为DTFT[?]和DTFT?1[?]。 DTFT和CTFT的不同在于，前者是对序列定义的，后者是对连续函数(包括未作采样周期归一化处理的序列)定义的。 结论1：序列的DTFT频谱是周期的,周期为2?rad,或1Hz。 结论2：序列的DTFT频谱的有效部分是??~?rad或?0.5~0.5Hz。 结论3：序列的最高频率(截止频率)对应了DTFT频谱中的?rad或0.5Hz。 DTFT的性质 周期性： 例：求单位冲激序列?(n)的DTFT： 例：求余弦序列的cos?0n的DTFT。 解：先求指数序列的DTFT： 例：求图中的周期矩形脉冲序列H1(ej?)的逆DTFT。 例：求图中的周期矩形脉冲序列H2(ej?)和H3(ej?)的逆DTFT。 3.2 离散傅里叶变换DFT 傅里叶级数、变换中的时域与频域关系 时域 ?---? 频域 周期信号 离散谱 非周期信号 连续谱 离散信号 周期谱 离散非周期信号 周期连续谱 离散周期信号 离散周期谱 非周期信号的离散周期化方法 DFT及其反变换的定义 DFT的对称性 DFT的性质 DFT 形式 极坐标形式 DFT与DTFT关系 3.3 截短信号的DFT 截短信号 3.4 FFT算法 FFT分类 时间抽取算法(Decimation-in-Time)：x[n]表现为“无序”，X(k)有序 时间抽取 (Decimation-in-Time, DIT) FFT算法 a[n] = x[2n] b[n] = x[2n+1] FFT复杂度分析 DFT与FFT计算量对比举例 频率抽取 (Decimation-in-Frenquncy, DIF) FFT算法 x1[n] = x[n] x2[n] = x[n+N/2] n=0，1，……，N/2-1 作业 1. 计算以下信号的DTFT,并画出X(w) 2. P161, 4.4, 4.5 第3章 结束 整数N 经常称为记录长度。 例：离散时间信号x[n]=(0.9)nu[n],n≥0 的DTFT、DFT及截短信号的DFT对比。 DTFT DFT DFT 完整x[n]信号 截短x[n]信号 DFT正逆变换运算量分析： 对于每个k，由x[n]计算DFT 需要N次复数乘法，k=0,1,…,N-1 需要N2次复数乘法 1次复数乘法需要4次实数乘法来完成； FFT：Fast Fourier Transform 1965 J.W.Cooley(库利)和J.W.Tukey(图基)在《计算数学》发表了“机器计算傅里叶级数的一种算法”； FFT不是一种新的变换，而是DFT的一种快速算法! 频率抽取算法(Decimation-in-Frequency) ：x[n]表现为“有序”，X(k)无序 WN的定义及性质 WN 旋转因子定义： WN 性质： 将N点的序列分为两个N/2点的序列 将N点DFT分为两个N/2点DFT N一般要为2的m次幂，即 令Ak和Bk分别代表a[n]和b[n]的DFT，即 对于k属于(0~N/2-1)部分的Xk，有 对于k属于(N/2~N-1)部分的Xk，有 1 1 -1 这样，只要计算出(0,N/2-1)区间的A(k)和B(k)，也就可以很方便地