高中数学竞赛讲义第六讲 数列.docVIP

PAGE PAGE 1商丘一高高一数学竞赛辅导讲义f 第六讲 数 列 ★[方法总结]★ 1.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 2.求通项常用方法 ①作新数列法.作等差数列与等比数列. ②叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1 ) +(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1. ③归纳、猜想法. 3.数列前n项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n=n(n+1) 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2 ②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. ③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项. ④错项相消法。 ⑤并项求和法等。 [例题] 1.已知{an}是各项不同的正数等差数列,又lga1、lga2、lga4成等差数列.设bn=,n=1,2,3,……。 （Ⅰ）证明{bn}为等比数列； （Ⅱ）如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d.。 解:（Ⅰ）∵lga1、lga2、lga4成等差数列， ∴2lga2=lga1+lga4，即a=a1·a2 设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d), 这样d2= a1d 从而d(d- a1)=0 ∵d≠0 ∴d= a1≠0 ， = a1+(2n-1)d=2n d bn==， 这时{bn}是首项b1=，公比为的等比数列。 （Ⅱ）∵b1+b2+b3=(1++)=，∴d=3, 所以a1=d=3 2．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列. （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由. 解:（Ⅰ）由题设 （Ⅱ）若 当 故 若 当 故对于 3.已知数列为等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）证明 解：（I）设等差数列的公差为d. 由即d=1. 所以即 （II）因为， 所以 4.已知数列的首项前项和为，且Sn+1=2Sn+n+5.(n∈N*) （I）证明数列是等比数列； （II）令，求函数在点处的导数。 解：（I）由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴当 所以，两式相减得 即,从而. 当时 ∴.又,∴ 从而.故总有.又∵, 从而，即数列是以为首项2为公比的等比数列。 （II）由（I）知,∵ ∴。 从而 =-= = 5.若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=（n=3，4，……） （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn. 解:（Ⅰ）由题设，当n≥3时，an=c2an-2 an-1=can-2 an=.由题设条件可得an-2≠0,因此c2=,即2c2-c-1=0. 解得c=1或c=- (Ⅱ)由（Ⅰ）,需要分两种情况讨论: 当c=1时，数列{an}是一个常数列,即an=1(n∈N*) 这时,数列{nan}的前n项和Sn=1+2+3+…+n= 当c=-时，数列{an}是一个公比为-的等比数列，即an=(-)n-1 (n∈N*). 这时，数列{nan}的前n项和Sn=1+2(-)+3(-)2+…+n(-)n-1. ① ①式两边同乘-，得-Sn=-+2(-)2+…+(n-1)(-)n-1+n(-)n. ② ①式减去②式，得 （1+）Sn=1+(-)+(-)2+…+(-)n-1-n(-)n= 所以Sn= 6.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求： （ = 1 \* ROMAN Ⅰ）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （ = 2 \* ROMAN Ⅱ）的值. 解：（Ⅰ）由a1=1，，n=1，2，3，……，得， ，. 由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2), ∴数列{an}的通项公式为an= （ = 2 \* ROMAN Ⅱ）由（ = 1 \* ROMAN Ⅰ）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， 所以=. 7.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=