第4讲.微积分及人类文明.pptVIP

七、微积分与人类文明 微积分是人类智力的伟大结晶。它给 出一整套的科学方法，开创了科学的 新纪元，并因此加强与加深了数学的 作用。 恩格斯说：”在一切理论成就中，未必 再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。” 当代数学分析权威柯朗(R．Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。” 有了微积分，就有了现代化的社会 微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。如 微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何等。 严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。 有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。 来自新语丝的话 没有微积分，就没有后来的微分方程；没有微分方程就没有电磁作用的基本理论；没有电磁作用，数字电路的基本理论，没有这些基本理论可能就没有计算机，没有计算机就没有互联网，没有互联网就轮不到你纵横捭阖，大展拳脚，就没有新语丝…… （1）完成了人类对自然界认识上的第一次理论大综合； （2）体现了自然科学惊人的预见力和巨大的理论指导意义。 （3）标志着近代科学的诞生；打开了工业革命的大门。 三、牛顿的“流数术” 17 世纪早期,数学家们已经建立起一系列求解无穷小问题(诸如曲线的 切线,曲率,极值,求运动的瞬时速度以及面积,体积,曲线长度以 及物体重心的计算)的特殊方法. 牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法, 特别是确立了微分与积分的逆运算关系 (微积分基本定理). 从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。 为解决运动问题，创立微积分 牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的----微积分，牛顿称之为“流数术”。 他有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。 这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的因变量作为流量。不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。 牛顿的“流数术”基本上包括三类问题 （1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，即求导数； （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程； （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。 牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 微积分基本定理 o y x a b x X+△x 四、莱布尼茨创立的微积分学 莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646 年~1716 年) ,德国数学 家,哲学家,和牛顿同为微积分的创始人.他主要是从几何学的角度考虑,他创建的微积分符号,如 d---differentia,∫---summa, 以及微积分的基本法则,如乘积的微分公式 d(uv)=udv+vdu, 分部积分公式等，对以后微积分的发展有极大影响. 微积分创立的优先权 关于微积分创立的优先权，曾掀起了一场激烈的争论。 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。 牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。 牛顿和莱布尼茨各自独立地创建微积分 因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用