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第4讲函数依赖及等价和覆盖
例: 证明F={A→BC, A→D, CD→E}和 G={A→BCE, A→ABD, CD→E}等价 证明:根据前面的定理,只需证明F|=G和 G|=F (1)F|=G (a)A→BCE的推导: 由 A→BC, A→D ,合并规则: A→BCD;分解规则 A→CD,又 CD→E,有传递律: A→E;有合并规则A→BCE。 ( b)A→ABD 的推导: A→BC, A→D ,合并规则: A→BCD;分解规则 A→BD;增广律: A→ABD 。 (c) CD→E 已有 (2) G|=F A→BCE, A→ABD,合并规则: A→ABCDE, 由分解律: A→BC, A→D 无冗余覆盖的例子 例: 求F={A→B, B→A, B→C, AB→C }的无冗余覆盖。 求无冗余覆盖基本过程: 用算法3.3.1 ,把计算无冗余覆盖问题转化为 用成员测试算法 MEMBER(G-{X→Y}, X→Y),进一步转化为属性集X的闭包X+, 即: CLOSURE(X, G -{X→Y}, ) 然后判断Y是否属于CLOSURE(X, G -{X→Y}, ) 例: 求F={A→B, B→A, B→C, AB→C }的无冗余覆盖。 解:(1)G1= F-- {A→B} = { B→A, B→C, AB→C } MEMBER(G1,A→B)? A+=CLOSURE(A, G1 ) = {A}, B不属于 A+, 所以A→B不是多余 (2)G2= F-- {B→A} = { A→B, B→C, AB→C } MEMBER(G2,B→A)? B+=CLOSURE(B, G2 ) ={B,C}, A不属于B +,所以B→A不是多余 (3)G3= F-- {B→C} = { A→B, B→A, AB→C } MEMBER(G3,B→C)? B+=CLOSURE(B, G3 ) ={A,B,C}, C属于B +,所以B→C是多余 (4)G4= G3 -- {AB→C} = { A→B, B→A } MEMBER(G4,AB→C)? B+=CLOSURE(AB, G4 ) ={A,B}, C不属于B +,所以AB→C不是多余 所以G3是F的无冗余覆盖 另外,(1)、(2)同上,先考察AB→C是否多余? (4)G5= F-- {AB→C} = { A→B, B→A, B→C } MEMBER(G5,AB→C)? B+=CLOSURE(AB, G5 ) ={A,B,C}, C属于B +,所以AB→C是多余, 同时可以验证在G5中, B→C 不是多余的 所以G5也是F的无冗余覆盖。 结论:无冗余覆盖不是唯一的。 无冗余覆盖是在F的覆盖集中去掉多余的函数依赖,还可以从其它角度去化简覆盖,比如:下面的化简覆盖是去掉多余的属性。 练习 F={A→C, AB→C, C→DI , CD→I,EC→AB, EI→C} 求:F的无冗余覆盖。 * 第4讲函数依赖的等价和覆盖 3.3 函数依赖的等价和覆盖 包括函数依赖集的等价和覆盖、无冗余覆盖、化简覆盖、规范覆盖、最小覆盖等。 3.3.1 函数依赖的等价和覆盖 对于在模式R上的函数依赖集F和G,如果对G中的每一个函数依赖X→Y,都有F|=X→Y,称F是G的一个覆盖。把逻辑蕴含符号引入函数依赖集的覆盖中, 记为:F|= G 定义(等价和覆盖) 在模式R上的FDs F和G,若F+=G+,则称F和G等价。 记作F?G。 定理4 已知模式R上的函数依赖集 F和G。当且仅当 F|=G 且 G|=F ,则 F ? G。 证明:如果F|=G,若有X→Y∈G,则F|=X→Y,即X→Y∈F +, 有G?F +,(G)+?(F+)+ = F+, 则(G)+?(F+)。 同理,如果G|=F,有F + ?G +。因此,F +=G +,则F?G。 反之,若F?G,则F|=G和G|=F是显然的。证毕。 研究函数依赖集等价和覆盖的目的是对函数依赖集的化简,比如:无冗余的覆盖、规范覆盖、最小覆盖等。 3.3.2 无冗余覆盖 定义(无冗余覆盖):如果函数依赖集F不存在真子集F?使F?? F成立,则F是无冗余的。 如果F是G的一个覆盖且F是无冗余的,则F是G的一个无冗余覆盖。 算法3.3.1 计算函数依赖集
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