第4讲 10节等价关系及集合分类.pptVIP

一、集合的分类 这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。 例2 说明：二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。 定义 “同类元素都具有某种关系，不同类的元素 一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完 全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会 千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2. 二、等价关系 例3 定义 定理1：集合A的每个分类都决定了A的一个等价关系. 定理2 集合A的任一个等价关系～都可确定A的一个分类. 定义 一种重要的等价关系——同余关系  第10节 等价关系与集合分类 第4讲 例1 设整数集 可知， 是整数集 的一些子集，并具有 以下特征： （1） （2） （3） 一般的，任取一个正整数 ，都能将 成 个两两不相交的非空子集的并，使得每个 子集恰好是由除以 余数相同的整数组成的。 则被分解成偶数子集和 特别地，取 奇数子集的并。 分解 设 是 矩阵组成的集合，令 易知， 的这三个子集满足以下特征： （1） （2） （3） 上一切二阶 设 为任一个集合，而 是 的一些 其中 是指标集，如果 （2） （3） 则称 是 的一个分类,而 中每个元素 都叫做 在 下的一个类. 的一些子集组成的集合， （1） 例1中， 的分类 使在同一类里的整数除以4之后余数都相同， 而分在不同类里的整数除以4后，得到的余 数也必然不同. 之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分 在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同. 在分类 例2中， 注意：可以看出，对每一个确定的分类 来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种 共同的性质，而分在不同类的元素所具有的 这种性质也必不同。 但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般 来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的 “某种关系”而得到的. 这就是下面要讨论的问题: 定义 设 为集合， {对，错}，那么 由上述定义知， 中任一对元 ，都可以 判定是否符合这个关系. 到 的每个映射 就叫做 的一个 关系（也称为二元关系）. 若 ，就称 与 符合关系 若 ，就称 与 不符合关系，记为 ，记为 ； 在 中，定义 “大于”关系 “整除”关系 “不互素”关系 在 中，定义 例4 （实际上， 就是例2中的“秩相等”的关系） 例5 设M是整数集，规定 不是整数集的关系. 上述的例子分析可知：不是用 一个二元关系都能给 确定一个分类； 是需要具有特殊性质才行. 的任何 也就是说，能够给集合确定分类的二元关系 为此，我们必须研究下列特殊的二元关系: 如果～具有以下三种性质： 2.对称律（对称性）： 3.推移律（传递性）： 时，习惯称 设～是集合 上的二元关系， 1.反射律（反身性）： 当 时必有 当 时必有 且 那么关系～叫做 与 等价. 上的等价关系.并且当 证明：设 是 的一个分类，用 规定 上一个二元关系： 显然～是 的一个关系，须证～是等价关系. 反身性： 2.对称性： 若 我们可以 在同一类里 3.传递性： 若 ，由分类的特性知 综上，证得～是等价关系. 证明： 令 ，如此确定的这些子集具有： (1) （2） 当a与b不等价时： ，由～的对称性和传递性知 ，推出矛盾，所以 . 若 （3） 的一个分类. 注意：（1） （2）若 设 是 上等价关系～确定的分类， ，并称 为 的关于等价关系～的商集. 习惯上记 因为 ，那么每个 一个代表,而每类的一个代表组成的集合叫做 叫做这个等价类的 叫做A的一个等价类，而 A的一个全体代表团. 等价类与其代表元素的选取无关 任取 ，可以在 中确定一种等价关系 则称 为模 的同余关系，并将 记为 由同余关系确定的分类中的类为模 的剩余类. 而由同余关系引导出来的商集 习惯上记为 . （要求熟练掌握） 例6　 设 试确定集合 上的全部等价关系. 解　由定理知，只要求出的 全部分类,也 即求出的 所有可能的子集划分即可． (1) 如果 分划为一个子集, 则有 ; (2) 如果 分划为两个子集, 则有3种分法 (3) 如果 分划为三个子集, 则有 因此, 上共有五个不同的等价关系, 它们是 注　如果用 表示一个具有 个元素的集合上 的不同等价关系的个数, 则有下列的递推公式: 其中, 为二项式系数, 并 规定