第3.2节 随机向量及联合分布函数.pptVIP

第3.2节 随机向量的联合分布函数 一、联合分布函数 1. 定义 称为二维随机向量（X,Y）的联合分布函数。 2. 性质： (4)对每个自变量都是右连续的; 【作业】习题2.2 3、4、6、7、8、9 第3.2节 随机向量的联合分布函数 二维联合分布函数区域演示图: X Y x y X≤x Y≤y { , } (x,y) 第3.2节 随机向量的联合分布函数 一、联合分布函数 则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}= 3. 离散型随机向量的联合分布函数 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合分布为 例 0.1 0.3 0.2 0.4 0 1 0 1 X Y 求:联合分布函数. 4. 连续型随机向量的联合分布函数 若(X,Y）为二维连续型随机向量，f(x,y)为其联合密 度，其联合分布为 第3.2节 随机向量的联合分布函数 一、联合分布函数 (X,Y)～ 例 求:联合分布函数. x X Y 0 y 所以, 当x≥0,y≥0时, 即: 第3.2节 随机向量的联合分布函数 一、联合分布函数 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，称 分别为（X，Y）关于 X 与 Y 的边缘分布函数。 4. 联合分布函数与分量分布函数的关系 因为 所以，从数值上讲边缘分布函数就是分量的分布函数。由联合分布函数可以唯一确定分量的分布函数（边缘分布函数），反之，则不一定。 第2.2节 随机向量的联合分布函数 二、随机变量的相互独立性 1.定义: 称随机变量X,Y相互独立,若对任意ab,cd有: 随机变量X与Y 相互独立 特别: 若 X 与 Y 相互独立，则它们的连续函数 g(X ) 与h(Y )也相互独立。 特别有: aX+b 与 cY+d 相互独立. 2.性质: 两种题型：独立性的判断、独立性的应用 第3.2节 随机向量的联合分布函数 例3.2.1. (X,Y)的联合概率分布为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. 解: (1) X,Y的概率分布分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 (2) P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35 X,Y不独立. 注意: X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证. =0.7×0.5 例3.2.2. 设(X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1} f1(x)= |x|≤1 |x|1 0， f2(y)= 解:(1) 同理, 所以,X,Y独立. (2) 所以,X,Y不独立. 例 3.2.4 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 (1) 问X与Y是否独立？(2) 求概率P{XY}. 解: (1) (2) P(XY)= 所以, X, Y独立. 二、随机变量的相互独立性 第3.2节 随机向量的联合分布函数 3. 二维正态分布 定义: 如果(X,Y)的联合密度函数为 其中 为正数.则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为 性质: （1）边缘分布分别为X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22). （2）X、Y独立的充分必要条件为 二、随机变量的相互独立性 第3.2节 随机向量的联合分布函数 4. n个随机变量独立性的概念与性质 定义 则称 相互独立. 离散型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。 连续型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。 特别: 若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意 m(1m≤n)个随机变量X i1,X i2,…,X i m也相互独立. 二、随机变量的相互独立性 第3.2节 随机向量的联合分布函数 5、随机变量序列独立性的概念 定义: 称随机变量序列X1,X2,…,X n,…为相互独立的,如果它们中任意n(n=2,3,…)个随机变量都是相互独立的. 特别，又若每个X i(i=1,2,…)的分布相同时, 则称之为独立同分布 (i.i.d) 序列。 三、随机向量函数的分布 第3.2节 随机向量的联合分布函数