福州大学数理及概率统计第七章.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 置信区间 设X分布函数为F(x; ?), θ未知，给定α (0α1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的两个统计量 置信度为1-α 的置信区间。 区间估计 对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数?的置信区间，称为未知参数?的区间估计。 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,…Xn) (X1,…Xn) 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. 求置信区间的步骤 (1) 选择合适方法估计未知参数?，再构造 分布已知且与?无关的统计量U； (2) 给定置信度1-α，定出常数a,b，使 P{aUb}= 1-α； (3) 将aUb变形，使得； 7.4 单总体 均值μ的区间估计 σ2已知时μ的置信区间 σ2未知时μ的置信区间 方差σ2的区间估计 μ已知时σ2的置信区间 μ未知时σ2的置信区间 σ2已知时μ的置信区间 即得μ的置信区间 例1. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05). 解：μ的矩估计值为 μ的置信区间为(2.115,2.135). σ2未知时μ的置信区间 即得μ的置信区间 例2. 从一批服从正态分布N(μ,σ2)的零件中随 机抽取16个，分别测得其直径为： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05). 解： μ的置信区间为(12.049,12.101). μ已知时σ2的区间估计 即得σ2的置信区间 例3. 一批钢筋的20个样品的屈服点为： 4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.46 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 5.20 设屈服点服从正态分布N(5.21,σ2),求屈服点 总体方差σ2的置信度为95％的置信区间。 解： σ2的置信区间为(0.027,0.096). μ未知时σ2的区间估计 即得σ2的置信区间 例4. 试求例2中零件直径的方差σ2对应于置信 度98％的置信区间。 解： σ2的置信区间为(0.001196,0.006998). 双总体 设X~ N(μ1,σ12)，Y~ N(μ2,σ22)，X1,X2,…,Xm来自X，Y1,Y2,…,Yn来自Y，且两样本相互独立。 均值差μ1- μ2的区间估计 方差比σ12/ σ22的区间估计 σ1,σ2已知时μ1- μ2的置信区间 即得μ1- μ2的置信区间 σ1,σ2未知,但σ1=σ2=σ时,μ1- μ2的 置信区间 σ1,σ2未知,且σ1≠σ2，但容量m,n很大时, μ1- μ2的置信区间 方差比