矩阵理论-第二讲 方阵及对角化.pptVIP

矩阵理论-第二讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 回顾与复习 矩阵理论的应用背景； 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵（adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等 矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂 线性空间： 非空集 定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群） ； 定义了数乘，满足4条有关数乘的规律； 回顾与复习（Continue） 线性映射（线性算子、线性变换） 同一数域上的线性空间到线性空间的映射 线性泛函 线性空间到数域的映射 线性子空间 非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同 子空间的维数不超过其全空间的维数 子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩 回顾与复习（Continue） 回顾与复习（Continue） 回顾与复习（Continue） 线性方程组解的结构 齐次 非齐次 回顾与复习（Continue） 方阵的特征值与特征向量 特征矩阵 回顾与复习（Continue） 特征多项式 特征方程 特征值与特征向量（Continue） 特征值的代数重数 若 是 的k重特征值，则称λ的代数重数为k 特征值的几何重数 的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间，记为 。特征子空间的维数 称为A的特征值λ的几何重数 特征值的几何重数不超过它的代数重数： 若 是 的k重特征值，则 特征值与特征向量（Continue） 矩阵的多项式 设 f(λ) 是 λ 的多项式 ：运算结果是一个数 对 ，定义 为矩阵A的多项式 ：运算结果是一个 上的矩阵 矩阵的多项式的特征值和特征向量 若 是 的特征值， 是A的属于λ的特征向量，那么x也是 的属于特征值 的特征向量： 特征值与特征向量（Continue） 证明: 由方阵的幂的定义， 有 那么 如果 特征值与特征向量（Continue） 属于不同特征值的线性无关的特征向量组，组合起来仍线性无关 设 是 的互异特征值， 是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则 线性无关 推论：属于不同特征值的特征向量必线性无关 证明： 对特征值的个数用归纳法。当k = 1时，显然成立。 设 时成立，需要证明k = m时也成立。 特征值与特征向量（Continue） 为此，设有F上的常数： 使得： 用 乘以上式两边： 用A左乘（1）式两端，并注意到： 又有 (2)式与(3)式相减 特征值与特征向量（Continue） 即： 又因为 互异，故： 将上式代入(1)式，得 即k = m时，定理也成立 特征值与特征向量（Continue） 方阵的迹 设 ，定义 为方阵A的迹 定理 有且仅有n个特征值，且若 是A的n个特征值，则 的特征值是 ，而 的特征值为 特征值与特征向量（Continue） 证明 对A的阶数用归纳法。A的阶数为1时， ，定理成立。设A的阶数为n – 1时定理成立，需要证明A的阶数为n时，定理也成立。 由行列式的性质 特征值与特征向量（Continue）