第八讲向量及坐标表示及其运算.docVIP

第八讲向量的坐标表示及其运算 知识点 向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 基本单位向量 位置向量 向量的正交分解 向量的坐标运算：设 向量的摸： （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）. 2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a 定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 典型例题 例1若向量 满足.，则所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ABC中，A（1，1），B（-3，5）， C（8，-3），G是重心，求的坐标 例4. 已知A 若 所示，若点M分的比为3：1，点N在线段BC上，且，求点N点的坐标 例5若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于 A.b+a B.b－a C.a+b D.a－b 例6.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 例7.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______. 例8 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 A.1 B. C. D. 例9如图，G是△ABC的重心，求证：++=0. 例10设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R. . 例11若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）. （1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上? （2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小? 例12.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有 A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b C.a=－b D.以上都不对 例13.设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 例14.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a. 例15.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. .例16已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线? 例17.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和. 例18在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示. 例对19任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 高考点击试题 1.若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 A.（－3，6） B.（3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3） 2.已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于 A. B.－ C. D