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矩阵及概念及运算
* * 第一章 矩阵 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个 4 行 5 列的矩形阵列如下: 例 1. §1.1 矩阵的概念 一.引例 4×5 例2. 某企业生产4种产品,各种产品的季度产值(单位:万元)如表: 4×4 二、矩阵的概念 定义 1.1 设 F 是由一些数组成的集合,其中包含 0 和 1.如果 F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数,则称 F 为一个数域. 常见的数域: 有理数域 Q、实数域 R、复数域 C. 所有整数组成的集合不是数域. 说明: 1.一般情况用大写字母 A, B, C 等表示矩阵. 2.矩阵中所有元素均为零, 称为零矩阵, 记为 O. 3.若 m=n, 则称 A 为 n 阶矩阵 (方阵). 三.几种特殊的矩阵 放在 1.2 后面讲 加一个单位矩阵定义。 定义 1.3 若 A 与 B 有相同行数,相同的列数,并且对应位置上的元素均相等,则称 A=B . §1.2 矩阵的运算 举例 一、矩阵的加法 例 1.有某种物资 (单位:吨) 从 3 个产地运往 4 个销地, 两次调运方案分别为矩阵 A 与矩阵 B, 则从各产地运往各销地两次的物资调运量 (单位:吨) 共为 定义 以数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵,称为数 k 与矩阵 A 的积,记作 kA. 例2. 设 3 个产地与 4 个销地之间的里程(单位: 公里) 为矩阵 A, 已知货物每吨公里的运费为 1.5 元,则各产地与各销地之间每吨货物的运费 (单位: 元/吨) 可以记为矩阵 二、数与矩阵的乘法 负矩阵 把矩阵中各元素变号得到的矩阵, 称为 A 的负矩阵, 记作 –A. 即 运算律 设 A, B, C, O 都是矩阵, l , k 是数, 则 (1)A + B = B+A (2)(A + B) + C = A + (B + C) (3)A + O = A (4)A + (-A) = O (5)k (A + B) = kA + kB (6)(k + l) A = kA + lA (7)(kl) A = k (lA) 三、矩阵的乘法 例4.某地区有 4 个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ, 生产甲、乙、丙 3 种产品, 矩阵 A 表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵 B 表示各种产品的单位价格 (元) 及单位利润 (元), 矩阵 C 表示各工厂的总收入及总利润. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 单价 单利 总收入 总利润 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 讨论 C 与 A, B 间的关系 (Ⅰ厂的总收入) (Ⅰ厂的总利润) (Ⅲ厂的总收入) (Ⅲ厂的总利润) 则矩阵 A,B,C 的元素之间有下列关系 =矩阵 A 第 3 行元素与矩阵 B 第 1 列对应元素乘积的和. =矩阵 A 第 i 行元素与矩阵 B 第 j 列对应元素乘积的和. 注意: 前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数. (前后位置不能互换) *矩阵乘法不满足交换律. 1. 两矩阵相乘的条件: AB_1=AB_2等价于A(B_1-B_2)=O,而B_1=B_2等价于B_1-B_2=O。前者是推不出后者的,例如A仍取如上,B_2任取,B_1=B_2+B。 例5.求与矩阵 可交换的一切矩阵. 解 显然与矩阵 A 可交换的矩阵必为 4 阶矩阵, 设为 此例题前,先讲单位矩阵的特殊性,即AE=A,EA=A.A是任意m*n矩阵,前一个E_n,后一个是E_m.
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