电磁场边值问题及解法.pptVIP

直接求借 一为r，一为z。 当 c点位于不同位置 给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，称之为边界值问题。 第3章 边值问题的解法 3.1边值问题的提法(分类) 3.1.1边值问题的分类 1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）值 2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值 3 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件 若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。 3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程 1 泊松方程(Poisson‘s Equation) 在线性、 各向同性、 均匀的电介质中， 称之为静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。 2 拉普拉斯方程(Laplaces Equation) 电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即ρV=0，因而有 ▽2φ=0 称为拉普拉斯方程。 3.2 唯一性定理 1 定理内容 在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。 2 证明过程 利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。 考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理 整理， 因为， 所以， 设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有φ1和φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程 在边界S上，电位 所以φ′在边界S上的值为 则得 3.1.3 静电场边界值问题的间接解法 唯一性定理 边值问题 数值法 解析法 分离变量法 镜像法 有限差分法 例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系 积分 由边界条件 则： 3.3 镜像法 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 应注意的问题： 镜像电荷位于待求场域边界之外。 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。 待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 导体平面 导体平面 在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即 电位满足边界条件 导体平面边界上： 上半空间的电场强度： 电位： 导体表面感应电荷 导体表面上感应电荷总量 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力 2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 上半空间的电场 待求场域 中的电位 3 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为 ，而 为 整数 时， 该角域中的点电荷将有个 个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。 当n =4时： 该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中 当n=6时： n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。 4. 点电荷对导体球面的镜像 设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r a区域，边界条件为导体球面上电位为零。 设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。 点电荷与接地导体球周围的电场 a a 在球面上任取一点c，则 空间任意点