局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的紧致超曲面.docVIP

局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的完备超曲面 龚光俊 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000） 摘要：本文研究了局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的完备超曲面， 利用邱成桐的广义极大值原理得到两个重要的内蕴刚性定理。 关键词：局部对称；黎曼流形；平均曲率；超曲面 中图分类号：O186.12 文献标识码：A 引言 当外围流形是具有良好对称性的黎曼流形时（如球面），其中的极小超曲面和常平均曲率超曲面已有许多良好的结果（见[1—4]）。最近人们开始研究不具有良好对称性的黎曼流形（见[5—7]）（如局部对称，-Pinched流形）。以表示其截面曲率满足条件1/2 (其中是常数)的维局部对称黎曼流形，当是中的超曲面时，记为的常平均曲率，为其第二基本形式模长的平方 ，本文得到如下结论： 定理1 设是局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的维完备定向超曲面，其截面曲率满足1/2 (其中是常数)，则是全脐的，或者的第二基本形式模长的平方满足 这里；是的上确界。 定理2 设是局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的维完备定向超曲面，其截面曲率满足1/2 (其中是常数)，则我们得到： （1）如果，则是全脐的。 如果，那么 （i）当时，则是全脐的， (ii) 当时，则是全脐的；或者局部的， ，其中， 2 .预备知识 设是局部对称黎曼流形中的维完备定向超曲面，在中选取一个局部规范正交标架场，使得在上任意点有。指标范围约定为： ，。 设{}是的联络1-形式，是的第二基本形式，和分别是和的的曲率张量，和分别是的一阶和二阶协变张量，于是 =，， （2.1） =+， （2.2） （2.3） ， （2.4） 的第二基本形式模长的平方，平均曲率，由[5,(2.10)]知 （2.5） 因为在上任意点有，于是在处有 （2.6） 引理2.1（见[3]）设是个实数，满足，，其中是非负常数，则 ， 且等号成立当且仅当有个相等。 引理2.2（见[8,9]）设是维完备的黎曼流形，其Ricci曲率有下界，是上有上界的函数，则对任意0，存在点，使得 （2.7） 引理2.3（见[10]）设是阶矩，则 . (2.8) 引理2.4 设满足 ，， 则 证明 我们假设 因此 = 另一方面 因此，我们可以得到 。 3 定理的证明 定理1的证明 令，，则，，结合引理（2.1）可得 = 。 （3.1） 其次， 。 (3.2) 最后，我们来估值。 = （3.3） 通过（3.1），（3.2），（3.3）式我们可以得到 （3.4） 考虑以为特征值的二次型 ， （3.5） 做正交变换 用正交变换将（3.5）变为 （3.6） 不难看出，令，，因此由（3.5），（3.6），则（3.4）变为 （3.7） 因为 ， （3.8） 所以我们仅需证明在定理1的假设条件下，如果 （3.9） 成立，那么是全脐的。 现在，给定正数，令，其中如上式定义，那么是光滑和有上界的。另一方面，由Gauss公式和引理2.2对任意单位向量，有 ， (3.10) 由题设有下界，应用引理2.3，对任意，存在点，使得在点处 （3.11） 对求微分及Laplace算子有 （3.12） 由（3.11）和（3.12）可知 （3.13） 选取数列，使得，对每一个，使得（3.11）成立，而且，再由（3.11），，是有界数列，因此有极限，不妨设极限是，即，因此，故有，再由的定义，有 ， （3.14） 由（3.7）和（3.13），有 因此，当，时，有 （3.15） 通过应用这个不等式我们得到 ，或者 。 结合上式，在（3.9）式的条件下，我们得到，或者。这说明是全脐的。定理1得证。 定理2的证明 在定理2的条件下，由定理1我们得到定理2的第一部分。下面来证明第二部分。 如果