常见及几何体计算公式.docVIP

常见几何体的面积、体积求法与应用 要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式，对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。 由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下个月销售量，若去年平均销售量为y，设本月权为4，上月权数为1，下月权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y。这样能准确地确定下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通过推导与实践，对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。 常见几何体的面积、体积统一公式： （其中A为几何体侧面积，C0为上底面周长，C1为中间横截面周长，C2为下底面周长，V为几何体体积，S0为上底面面积，S1为中间横截面面积，S2为下底面面积，h为高，h0为斜高或母线长。注：中间横截面为上、下底等距离的截面。） 一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式的正确性 1、棱柱： ⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即，可得：，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。 以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的正确性。 ⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：，即： 。 2、棱锥 ⑴设底边长为a2，边数为n，斜高为h0，侧面三角形中位线为a1，则，即。 ⑵设正棱锥底面n边形中心点与边分割成n块三角形，相应对应中间横截面也分割成n块三角形，而每块对应三角形底边，且高也为一半，即 则 3、棱台 ⑴设上底面边长为a0，中间横截面边长为a1，下底面边长为a2，则，即。 ⑵设正棱台为上底面中点与边所分割成三角形的高，为中间横截面相应分割成三角形的高，为下底面相应分割成三角形的高，则，即， 注：以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。 例：已知正四棱台容器量得斜高为1.3m，上、下底面边长分别为0.8m和1.8m，求容器能盛多少水？ 解： 则容器能盛2.128吨水。 4、圆柱 设母线长为h0，上底面半径为r0，下底面半径长为r2，中间横截面半径为r1，则r0=r1=r2 5、圆锥 若母线长为h0，底半径为r2，中间横截面半径为r1，则 6、圆台 若母线长为h0，高为h，上底面半径为r0，中间横截面半径为r1，下底面半径为r2，则。 例：某圆台工件量得大头直径为36毫米，小头直径为24毫米，长为180毫米，求体积。 解：∵ 二、常见曲线围成面积与旋转体体积 1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用： ⑴设一次函数：的曲边梯形面积为： 而这时分别为 则 ，代入（1）可得 ⑵设二次函数：上的曲边梯形面积为： 由分别为， 则 ，代入（1）可得： ⑶设三次函数：的曲边梯形面积为： 由分别为， 即 ，代入（1）可得： 综上所述，可得出一个结论：对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用：。 例：求所围成的面积。 解： 2、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用： 在所有旋转体要求体积时，若被积函数为一次函数、二次函数、三次函数据对前面推导可知，其体积都可用。 如：球半径为R时，球的体积为 例：求绕x轴旋转所成几何体体积。 解： 例：已知抛物面形水池，上口直径为m，中间直径为2m，深为4m，求体积。 解： 例：椭球型汽油罐，长为8m，宽为6m，高为6m，求体积。 解： 总而言之，求常见几何体的面积、体积时，所用公式统一，只要记住：“头尾量与中间量4倍的和再与头尾距离的积”。且公式中所需要的数据在实际中很容易得到，因此笔者认为很实用。 1