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用不动点法求递推数列的通项公式 甘肃省武威市第一中学 党星元 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列，化为等比数列或容易求通项的数列，这种方法称为不动点法.利用不动点法可巧妙的解决数学高考中很多用常规方法不易解决的问题，而且在数学竞赛中很多数列问题都要借助不动点法来解决，因此，很有必要探讨不动点法求通项公式的方法.先看特征函数和不动点的定义. 定义1：若数列{}满足，则称为数列的特征函数. 定义2:方程称为函数的不动点方程，根称为函数的不动点. 1.递推式为(p0,p1,p,q均为常数)型的数列 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为a的等比数列. 证明：因为 p是的不动点 由得 所以是公比为a的等比数列. 例1.已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。 解：因为{an}的特征函数为：, 由, ∴ ∴数列{an-1}是公比为的等比数列, ∴an-1=an=1+. 归根结底，由求通项公式的问题转化成了等比数列的问题. 3.递推式为an+1=（c 0,a,b,c,d为常数）型的数列 定理2：设，满足递推关系，初值条件 (1)若有两个相异的不动点p,q，则 （这里） (2)若只有唯一不动点p，则 （这里） 证明：由得，所以 （1）因为p,q是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为p是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例2．数列满足，，求该数列的通项公式. 解：易知：，令，则，解得， 因此，函数存在不动点.这样我们就可以把转化为，即： 令，则，， 所以，，即：，所以， 这种方法在教学中也叫取倒数法，可见取倒数的想法来源于“不动点”.其实，这种类型的数列通项公式也可以通过“不动点”引入辅助数列求得. 例3．已知数列满足，求数列的通项. 解：数列特征方程为，化简得，解得， 由 可以推出 数列是以为首项，以为公比的等比数列，，． 3.递推式为(b,d为常数)型的数列 例4.已知数列中,,求数列的通项. 解:作函数为,解方程得的两个不动点为 再经过反复迭代,得 由此解得 我们也可以不反复迭代，可通过两边取对数，转化为等比数列的问题再求解. 利用函数“不动点”法，求解复杂的递推数列的通项问题，是近几年高考数列题目的难点.熟悉不动点法，可使这类问题的解决变得容易.不动点法不但可以求出上述几种类型递推数列的通项公式，还可以解决数列的很多问题. 1