几种求极限方法及总结.docVIP

几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 1 用定义求极限 根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈. 例1 用定义证明 证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是 N=，，有即 2利用两边夹定理求极限 例2 求极限 解：设 则有： 同时有： ，于是 由. 有 已知： ∴=1 3利用函数的单调有界性求极限 实数的连续性定理：单调有界数列必有极限. 例3 设，，（n=1,2,）),求 解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 ， ， ， 从而 ，显然是单调增加的，所以 两段除以，得 这就证明了的有界性 设，对等式两边去极限，则有 解得 4利用无穷小的性质求极限 关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小. 例 求极限 解4 而 而故 5 应用“两个重要极限”求极限 例5求 解 ∴原式= 6利用洛必达法则求极限 例6求（ 解： = 例7 求极限 （ 解 = 7利用泰勒公式求极限 例8：求极限 解 ∵中分子为，∴将各函数展开到含项。 当时，从而=1- ∴原式= 8利用数列求和来求极限 有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。 例9：求极限 解：令，则 -= 从而 ，∴ 原式= 9用定积分求和式的极限 例10 设函数f(x)在上连续，且f(x),求 解 令T= 于是lnT== 而 所以 = 10 利用定积分求极限 利用定积分求极限可分为以下两种形式 （1）型. 定理1 设f(x)在上可积，则有： = 例12 求 解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则 == （2）型. 定理2 设f(x)在上可积，则有=epx 例13 求 解：= 令 f(x)=x,则有==exp= 11利用数列的递推公式求极限 这种方法实际上包含有两种方法 （1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决. 例14 设=1，，3（，求 解：递推公式可化为3（ 设，那么 所以，=1， 将以上各式相加得 如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A. 例15 证明数列 2，2+，2+，极限存在并求出这个极限. 解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+ 设 ，有递推关系得1+，即 因为 而 但2=1+，所以 即 由此推出数列的极限存在并且就为1+ 12 利用级数收敛的必要条件求极限 当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限. 收敛的必要条件：若级数收敛，则 例16 计算 解：作级数，令 有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0 参考文献 陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7 解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第19卷第2期 杨曼英 《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报 1994.第2期 唐守宪 《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报 2003.1第22卷第1期