对称阵A叫做二次型f的矩阵.PPTVIP

* ★二次型的概念 ★二次型的标准形（或法式） ★二次型的秩 ★用正交相似变换化二次型为标准形 §5 二次型及其标准形 下页 关闭 二次型是线代的一个重要内容，本节通过建立二 次型与实对称矩阵之间的一一对应关系，给出了给出 了化二次型为标准型的一种重要方法：正交变换法。 定义8 含有n 个变量x1, x2, …. , xn 的二次齐次函数 称为二次型。 取 aij= aji, 则2aijxixj=aijxixj+ ajixixj, 于是(1)可写成 上页 下页 返回 二次型的概念 当 aij 为复数时，f 称为复二次型； 当 aij 为实数时，f 称为实二次型。 二次型的类型 上页 下页 返回 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻找可逆线性变换 使二次型只含平方项，也就是用(6) 代入(4) ，能使 上式称为二次型的标准形（或法式）。 二次型的标准形 上页 下页 返回 由(5)式，利用矩阵，二次型可表示为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 其中A 的对称矩阵。 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由上面的讨论可知，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可以唯一地确定一个二次型，这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。 对称阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称阵 A 的二次型。 对称阵 A 的秩就叫做二次型 f 的秩。 记 C =( cij )，把可逆 (6) 变换记作 二次型的秩 上页 下页 返回 证 因为 AT = A，于是 BT = ( CTAC ) T= CTAC = B， 即 B 为对称阵。 定理9 任给可逆矩阵 C ，令 B = C TAC，如果 A 为对称阵，则 B 也是对称阵，且 R ( B ) = R( A ) 。 上页 下页 返回 因 B = CTAC， 故 R ( B ) ≤R (AC ) ≤R ( A ) 又因 A = ( CT) －1BC －1, 故 R ( A ) ≤R ( B ) 于是 R ( A ) = R ( B )。 这定理表明：经可逆变换 二次型的 f 的矩阵由A 变为CTAC，且二次型的秩不变。 再证R ( A ) = R ( B )。 要使二次型 f 经可逆变换 也就是要使CTAC 成为对角阵。 用正交变换化二次型为标准形 变成标准形， 就是要使 上页 下页 返回 问题：对于对称 A ，如何寻找可逆阵 C ，使得 CTAC 成为对角阵？ 由定理 8 知，对于对称矩阵 A ，总存在正交阵 P ，使 P－1AP = Λ，即 定理10 任给二次型 总有正交变换 其中λ1 ，λ2 ，… ，λn 是 f 的矩阵 A = ( aij ) 的特征值。 使 f 化为标准形： PTAP = Λ。 上页 下页 返回 化为标准形。 解 二次型的矩阵是 例12 求一个正交变换 把二次型 上页 下页 返回 它的特征多项式是： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 于是得正交变换为： 上页 下页 返回