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哥德尔第一不完全性定理
9
Lar = {0, S, +, ·} = (, 0, S, +, ·)
(, 0, S, +)
(, 0, ×)
1
9.1.1 Q
Lar
Q 1 PA− PA PA
ZFC
Q 7 :
Q1 ∀x Sx ̸≈ 0
Q2 ∀x∀y (Sx ≈ Sy → x ≈ y)
Q3 ∀x (x ̸≈ 0 → ∃y x ≈ Sy)
Q4 ∀x (x + 0 ≈ x)
Q5 ∀x∀y (x + Sy ≈ S(x + y))
1RaphaelRobinson 1911- 1995
1
1 9
Q6 ∀x (x · 0 ≈ 0)
Q7 ∀x∀y (x · Sy ≈ x · y + x)
Q Q
9.1. = ( ∪ {∞}, 0, S, +, ·) S + ·
∞
(1) S (∞) = ∞
(2) n + ∞ = ∞ + n = ∞ + ∞ = ∞ n ∈
(3) ∞ · 0 = 0 · ∞ = 0 n · ∞ = ∞ · n = ∞ · ∞ = ∞ n ∈ n ≠ 0
|= Q
9.1. (a) Q ̸⊢ ∀x Sx ̸≈ x
n
(b) n ∈ Q ⊢ Sn ̸≈ n n S 0
: S (∞) = ∞ 9.1 (a)
(b) n ∈
n = 0 Q ⊢ S0 ̸≈ 0 (Q1)
Q ⊢ Sn ̸≈ n(Q2) Q ⊢ S(n + 1) ̸≈ n + 1
9.1
• n ∈
n
nn S 0
n
• (b) n ∈ Q ⊢ n ̸≈ Sn
n Q n ̸≈ Sn (a)
2
• (b) Q
Q
Q ⊢Q ⊢
x ≤ y ∃z (x + z ≈ y)
2uniformity
2
9 1
9.2. m, n ∈
(1) ⊢ ∀x(Sx + n ≈ x + Sn)
(2) ⊢ m + n ≈ Smn 0 ⊢ m · n ≈ Sm·n 0
(3) n ≠ m ⊢ n ̸≈ m
(4) m ≤ n ⊢ m ≤ n
(5) m ̸≤ n ⊢ m ̸≤ n
(6) ⊢ ∀x(x ≤ n ↔ x ≈ 0 ∨ · · · ∨ x ≈ n)
(7) ⊢ ∀x(x ≤ n ∨ n ≤ x)
:
9.2 Q Q
• 9.2 (2) (3) n → n
⊆
• (6) b ∈ a ≤
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