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量子力学考研模拟题参考答案 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式： 2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。 4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。 5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，， 则有 ，这个关系式称为测不准关系。 坐标和动量之间的测不准关系为： 二、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是： 设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为： 在B表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有： 所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和 从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即 ，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，， （1）能量的取值几率，， 平均值为： （2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：= 由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。 四、解：（1）的本征值是方程的根 结果：，，这是的精确解。 （2）根据题意，体系能级的二级修正可写为： 由题设可知：能量的一级修正为：，， 对于二级修正，有： 所以，，， 将展开： ，， （3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。 五、解：， 所以和分别作用于的本征态和的结果是 ，，， 结果表明：称为自旋升算符是合理的，因为它将方向的自旋从增加到。同样，称为自旋降算符，因为它将方向的自旋从降到。和容许我们从的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。