谈谈数列中及放缩法.docVIP

谈谈数列中的放缩法 高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现（虽然数列在高考中已有所降温）．放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能． 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力． 放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握． 裂项放缩与裂项 （1）基本放缩 ； ； ； ，（kN+）． （2）对的放缩 （）； （）； ． （3）对的放缩 （）； （4）对的放缩 ； （关系不明显的需证明）． （5）（*）． （6）对的放缩 ． 典型例题 例1 （型）若是自然数，求证：． 2、(节选2014广东文) ，求证：对一切正整数，． 例2、（根式型）求证：，其中． 变式:（灵活放缩）已知各项均为正数的数列的前项和为，且． (1) 求证：； (2) 求证：． 解：（1）在条件中令n＝1得，，又由条件有，上述两式相减注意到得，∴，故而所以，，所以· （2）nn＋1，即，所以， 例4（构造型放缩）（2014高考数学新课标理17）已知数列满足，． （）证明是等比数列，并求的通项公式； （）证明：． 解：（1）证明略，；（2）由（I）知，，因为时，，所以． 于是．（其他方法这里不介绍） 变式：设数列为单调递增的等差数列，，且依次成等比数列． （）求数列的通项公式； （II）若，求证：． 解： …….3分 而 所以 …………………….13分 灵活拓展：1、（13成都一诊）数列中，，，且当时，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）求证：．；……3分（II）；……7分 （III）显然时不等式成立，当时，， 故时， 2、已知函数．若，设，为数列前n项和，证明：． ，， 一、分式和——准确变形，裂项相消 例 （06·全国I·理·22）设数列的前项的和，． （1）求首项与通项；（2）设，，证明：． ，； （II）证明：， ． 二、指数和——裂项无效，化归等比 例 （节选06·福建·理·22） 已知求证：． 证明： 三、把握结构，均分放缩 对形如（其中是常数）的不等式，由于左边是项之和，右边可以变形为个之和，所以可考虑左边的每一项能否放大到．像这种每一项的放缩度是一样的，称为均分放缩，是化归等比的特例． 如上例中：可以用此法来证明，只需证明每项均小于即可． 因为，所以． 注：均分放缩，应从欲证不等式的结构形式上去考虑，由于每项放缩度是一样的，放缩程度比较大，因此可以考虑前面一项或前面几项不放缩，对后面几项进行放缩． 四、特殊探路，确定目标——合理变形，不断调整 如果不等关系不明确时，可以先选取几个特殊值进行尝试，名曲目标后再进行论证． 例 设函数，已知不论，为何实数，恒有，．对于正数列，其前项和． （1）求实数的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，，且数列的前项和，比较与的大小，并说明理由． 解析：；（II），； 到底是放大还是缩小？我们可以用特殊值探路，当时，都有，由此可以大胆猜想证明目标：“”，明确放缩方向后，进行尝试探索，并不断调整，努力接近解题目标，直到解决问题． 在上例中，明确方向后，估计是通过裂项相消，能出现的形式，再判断的符号．因此关键是对进行放缩变形，可以采用不同的试探方式． 经计算发现，只有（5）能有效解决问题． 注：在使用放缩证题时，经常会遇到放的太大或者缩得太小的情况，因此需要大胆尝试、猜想、判断，并不断的调整，虽经失败，但从中获得了教训和经验，对培养我们的探索精神大有裨益． 五、准确判断，确定起点 例1 （2013·广东·理）若是自然数，求证．证明记 ①当时,,原不等式成立. 当时, 当时, 原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. 六、放缩一步到位 在用“放缩法”证明不等式时，最易犯的错误是放缩过头.为了避免放缩过头，人们往往反复尝试，才可能找到最适当的放缩方式，这样做费时又费力.如何恰到好处地