数学归纳法在高等代数中的应用.docVIP

数学归纳法在高等代数中的应用 内容摘要：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等方面的应用简单的做了汇总，说明了数学归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用. 关键词：数学归纳法 高等代数 应用 在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义.因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题.数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它是用来证明与自然数有关的命题.而在高等代数中，行列式的阶、多项式的元、矩阵的行与列、线性方程组的未知量、二次型的元、线性空间的维数均与自然数有关,因此数学归纳法在高等代数中的应用非常重要.本文将第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用做叙述. 一﹑数学我归纳法概念【18】【19】 1﹑第一数学归纳法：是关于自然数的命题，若 （1）在时成立； （2）在（是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则 对一切自然数都成立. 2﹑第二数学归纳法：是关于自然数的命题，若，1）时成立; （2）（,其中是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则对一切自然数都成立. 二、数学归纳法的应用 数学归纳法在多项式中的应用 例1 【7】【12】【14】 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 证明：对次数作第二数学归纳法. 对一次多项式显然成立. 假设对次数的多项式已经证明. 设是次实系数多项式.有代数基本定理，有一个复根..如果是实数,那么，其中是次实系数多项式.如果不是实数，那么也是的根且.于是. 显然是一实系数二次不可约多项式.从而是次实系数多项式.由归纳法假定，或可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之也可以如此分解. 例2 【9】【10】【17】 已知是不全部为零的多项式,其中 （1），存在多项式，使. 证：对用第二数学归纳法 当时，结论显然成立.假定对个多项式结论成立，即存在多项式，使 (2)（为的一个公因式）. 再证对个多项式结论也成立. 由于（为的一个公因式），故存在，使. 把（2）式代入（1）式，得 或. 其中. 例3 【8】设及为个多项式，而且 . 证明:. 证：对用第二数学归纳法. 当时，再对用第二数学归纳法. 当时，结论当然成立，因为有. 假定时，结论成立，即有. 但是, 故由(若得)知， 有. 即时结论成立. 假定结论对成立，即有. 再根据时成立的结论,有,得 .即结论对成立。 从而有数学归纳法原理知，结论对任意正整数均成立. 数学归纳法在行列式中的应用 例4 【6】【9】【13】设及为数码得任意两个排列. 证明：总可以通过对换把一个变成另一个，且若二者奇偶性相反（相同），则必须用奇(偶）数个对换. 证：对数码个数用第二数学归纳法. 当时结论显然成立. 假定对个数码结论已成立.下证对个也成立. 若,则与是个数码的排列，按归纳假设他们可以通过对换互化，亦即与可通过对换互化. 如果,设,则通过对换（）化成,它与就是上面情形.所以又可通过对换把化为. 又由于对排列每施行一次对换都改变排列的奇偶性，故 当与的奇偶性相反时，只能通过奇数个对换把一个变成另一个；而当二者奇偶性相同时，只能通过偶数个对换把一个变成另一个. 例5 【14】【17】行列式（1）称为级的范德蒙德行列式.证明： 对任意的，级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积. 我们对作第一数学归纳法. 当时，，结论是对的. 设对于级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看级的情况. 在（1）中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的倍，有 .后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式，根据归纳假设，它等于所有可能差 的乘积；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 例6 【11】【12】设,证明： =. 证：对行列式的阶数用第二数学归纳法. 当时可以直接验算结论成立. 假定对这样的阶行列式结论成立，进而证明对阶数为时结论成立. 按的最后一列，把拆成两个阶行列式相加： =. 但由归纳假定，，从而有 = . 例7 证明： 证：对用第一数学归纳法. 当时显然成立. 假定对成立，下证对也成立. 按第一列把表示成两个行列式相加，再由归纳假设即得 = = =. （三）数学归纳法在矩阵中的应用 注：数学归纳法不仅可以在证明题中运用还可以在计算题中运用.在计算题中用到时首先用不完全归纳法猜想出结果，再用数学归纳法证明其结果正确. 例