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不定积分方法总结 一个重要思想 拆分：用各种变换将一个合式分解成多个分式，这些分式的积分往往是好求的，再对每个分式进行积分，从而达到运算的简化。常见方法是裂项。 需要牢记的东西 不定积分基本公式一共26个，牢记这些公式有助于提高运算速度 1）∫cdx=cx 　　 2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 　　 3）∫1/xdx=ln|x|+c 　　 4) ∫a^xdx=(a^x)/lna+c 　　 5）∫e^xdx=e^x+c 　　6）∫sinxdx=-cosx+c 　　 7）∫cosxdx=sinx+c 　　 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 　　 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 　　 10）∫1/√(a^2-x^2)dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c 　　 11）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 　　 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c ∫secxtanx dx=secx+C 14)　∫cxcotx dx=-cscx+C 　 ）∫ dx=c 　　 1) ∫1/(1+x^2) dx=arctanx+c 　　 ) ∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c 　　 ) ∫tanx dx=-In|cosx|+c 　　 ) ∫cotx dx=In|sinx|+c 　　 ) ∫secx dx=In|secx+tanx|+c 　　 ) ∫cscx dx=In|cscx-cotx|+c 　　 ) ∫1/√(x^2+a^2) dx=In(x+√(x^2+a^2))+c 　　 ) ∫1/√(x^2-a^2) dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c 24)∫√(a^2-x^2)dx=x/2√(a^2-x^2)+a^2/2*arcsin(x/a)+c 25)∫√(x^2+a^2)dx=x/2√(x^2+a^2)+a^2/2*In(x+√(x^2+a^2))+c 26)∫√(x^2-a^2)dx=x/2√(x^2-a^2)-a^2/2*In(x+√(x^2-a^2))+c 三．常用方法总结 第一换元积分法 第一换元积分法又叫凑微分 F(x)=f(x), ∫f(ax+b)x=1/a∫f(ax+b)(ax+b)dx=1/a∫f(ax+b)d(ax+b)=1/aF(ax+b)+C 显式第一换元积分形 F(x)=f(x),则有如： ∫f(lnx)/xdx=∫f(lnx)dlnx=F(lnx)+C ∫f(arctanx)/(1+x2)dx=∫f(arctanx)darctanx=F(arctanx)+C 常见三角函数积分 (∫（sinx）^n(cosx)^mdx.若m,n至少有一个奇数，不妨设m=2k+1,则=∫(sinx)^n(cosx)^2kcosxdx=∫(sinx)^n(1-sin2x)^kdsinx.若m,n均为偶数，则用倍角公式降幂成奇数，再求解。 (∫（tanx)^ndx,∫(cotx)^ndx(n=2),利用1=（1+tan2x)cos2x,1=(1+cot2x)sin2x降幂，凑微分 (∫1/（sinx）^n(cosx)^mdx，利用1=sin2x+cos2x来使分母降幂 ④∫1/（a+bsin2x)dx，∫1/（a+bcos2x)dx，利用a=a(sin2x+cos2x),分母为acos2x+(a+b)sin2x(asin2x+(a+b)cos2x),提出cos2x（sin2x），再利用1/cos2xdx=dtanx（-1/sin2xdx=dcotx）来凑微分 第一换元积分法的通用技巧 (g（x)常在分母里，根号底下，或平方底下 (添项减项法：在分子上添项减项，从而可以和分母里的因子相约，并拆分成两个式子，达到简化运算的目的 (移项法：在等式右边出现待解式，移到等式左边，合并，再将右边的东西除以系数得到结果 ④提公因式法:提出来一系数,使得剩下的式子是基本公式里的 第二换元积分法 对于根号下是一次分式形式的,常令t=整个根号 对于根号下是二次整式形式的,常先配方,再利用三角换元 三角换元法 倒代换法 分部积分法 基本思路:将被积函数分为两个因子之积,要求其中一个因子原函数好求,另一个因子导数相对简单 典型分部积分形 (对于lnx及其n次幂的，取f（x)=1 (对于反三角函数，取f（x)=1 (对于x^n与反三角函数的乘积，取f（x)=x^n ④对于x^n与(lnx)^n乘积，取f（x)=x^n ⑤对于a^x与sinx或cosx的乘积，取f（x)=a^x ⑥对于x^n与a^x的乘积，取f（x)=a^x ⑦对于x^n与sinx或cosx的乘积，取f（x)=sinx或cosx ⑧∫1/(sin