duffing方程的分岔与混沌 bifurcations and chaos in duffing equation.pdfVIP

第26卷　 第1期 洛阳理工学院学报(自然科学版) Vol．26　 No．1 　 2016年3月 Journal of Luoyang Institute of Science and Technology(Natural Science Edition) Mar． 2016　 Duffing方程的分岔与混沌 1 2 姜春霞 , 邬开俊 (1． 辽宁省交通高等专科学校 轨道交通工程系, 辽宁沈阳110112; 2． 兰州交通大学 电子与信息工程学院, 甘肃 兰州730070) 摘　 要: Duffing方程是非线性振动系统中的一种具有代表性的微分方程式, 许多工程实际中的非线性振动问题 都可以利用该数学方程来研究。 本文应用动力系统的分岔理论和混沌理论, 研究在五次非线性恢复力、 一个激 励和一个外力作用下的Duffing方程。 用理论解析法以及数值仿真的方式求出方程自由振动、 强迫振动、 混沌振 动。 用数值仿真 (分岔图、 相图、 庞加莱映射图) 研究了该系统的复杂动态。 这些数值仿真展示了周期倍化序 列到混沌、 混沌和周期窗口的交替出现以及混沌的突然消失等动态行为。 关键词: Duffing方程; 非线性振动; 分岔; 混沌 DOI:10.3969/ i.issn.1674-5403.2016.01.022 中图分类号: O29; TH113．1　 　 　 　 文献标识码: A　 　 　 　 文章编号: 1674-5403(2016)01-0083-06 [1-2] 　 　 1979 和1980年, Moon和Holmes 对以下形式的Duffing方程进行了研究 ¨ · 3 x +δx -x +x =fcosωt (1) 方程 (1) 模拟了两个永磁铁分别置于不同场中, 一个支架受迫振动的情形。 其中δ 为阻尼系数,ω [3] 表示强迫力的频率。 Holmes等 用二阶平均方法对线性项为负的Duffing方程进行了研究, 得到了随激励 力的振幅和频率以及阻尼系数的变化, 在平衡点附近周期轨道的演化序列、 倍周期分岔、 次临界和超临 [4] 界分岔。 Jing和Wang 对含有两个外力及五次非线性项的Duffing方程进行了研究, 并得到了周期倍化分 岔以及逆周期倍化分岔, 奇异吸引子、 暂态的混沌和混沌的突现, 是以频率、 振幅为变化依据的转折点。 [5] Yagasaki 对带有两个不同频率扰动以及三次非线性项的Duffing方程, 通过 Melnikov 函数, 对锁相对动 态行为的影响进行研究。 在文献[6-7]的研究中给出了许多的分岔集结构、 周期解的分岔、 复杂的带有周期 窗口的混沌行为。 而对于带有非线性项为五次的Duffing方程的研究相对较少。 本文研究了带有外力和激 励项的Duffing方程 ¨ · 2 3 5 x +δx +ω x +β[1 +ηcos(ω t +φ)]x +αx =fcosω t (2) 0 2 1 1　 特殊情况下Duffing方程的数值计算 1．1　 Duffing系统的自由振动 在不考虑阻