05第五节二阶线性微分方程解及结构.docVIP

第五节 二阶线性微分方程解的结构 分布图示 ★ 二阶线性微分方程的概念 二阶线性方程的解的定理 ★ 定理1 ★ 函数的线性相关和线性无关 ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-5 内容要点： 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是 ， (6.1) 其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为 ， (6.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程. 定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则 (6.3) 也是方程(6.2)的解，其中是任意常数. 定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数. 定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 (6.4) 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解. 定理4 设与分别是方程 与 的特解，则是方程 (6.5) 的特解. 定理5 设是方程 (6.6) 的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程 与 的解. 例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解: (1) 求此方程的通解; (2) 写出此微分方程; (3) 求此微分方程满足的特解. 解 (1) 由题设知, 是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 ，其中 (2) 因 ① 所以② 从这两个式子中消去即所求方程为 (3) 在①, ②代入初始条件得 从而所求特解为 课堂练习 1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? 2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?