04由数列及递推公式求通项公式.docVIP

3.5由数列的递推公式求通项公式 一.知识概要 1.的两种变形公式 (1)； (2) 2.灵活运用等差、等比数列的通项公式，递推关系求通项的方法：如观察法、累加法、累积法、待定系数法、构造法、猜归法。 二．已知递推公式，求特殊数列的通项公式 1.型数列通项公式的求法（转化为求等比数列求通项） 例1.数列满足，求数列的通项公式. 练习1: （2006，重庆）在数列中，若，则该数列的通项_______（key:）型数列通项公式的求法(转化为等差数列求通项) 例2.在数列中,若,求数列的通项公式. 练习2: 已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 3.(数列为可以求和的数列)型数列通项公式的求法(累加法) 例3. 在数列中,若,求数列的通项公式. 练习3: 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得 则 所以 4. 型数列通项公式的求法(迭乘法) 例4. 在数列中,若,求数列的通项公式. 练习4: 在数列中,若,求数列的通项公式. 练习5：设是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式. 5.（为常数）型数列通项公式的求法. 例5.在数列中,，求数列的通项公式. 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得， 则，故 因此，则 三.涉及,求数列的通项公式问题 例6. 已知数列的前项和为,已知. (1)求证:数列是等差数列; (2)求数列的通项公式. 练习：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得： 于是 所以. 的前项和为, (1)求证:数列是等比数列; (2)求数列的通项公式. 综合：1.已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； （III）若数列满足证明是等差数列 （I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得 （III）证明： 　　　　　　　　① 　　② ②－①，得 即　　　　　③　　　　④ ④－③，得即 是等差数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。 3.已知点（在函数的图象上，其中n=1,2,3,…. （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）设.，求及数列{}的通项； （Ⅲ）记，求数列{}的前n项和Sn，并证明 解：（I）由已知 即是公比为2的等比数列. （II）由（I）知= 由（*）式得 （III） 4.（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说明理由 解：（I）由已知得 又 是以为首项，以为公比的等比数列 （II）由（I）知， 将以上各式相加得： （III）解法一： 存在，使数列是等差数列 数列是等差数列的充要条件是、是常数 即又 当且仅当，即时，数列为等差数列 解法二： 存在，使数列是等差数列 由（I）、（II）知， 又 当且仅当时，数列是等差数列 练习： 1．(2008江西高考）在数列中，， ，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 2.数列满足，，其中。 （1）求；5,23,95（2）若存在一个实数，使为等差数列，求的值； （3）求数列的前n项和。 3.在数列中， （1）设，求数列的通项公式.（2）求数列的前项和为. （1）（2） 4．已知正项数列，满足是等差数列，且对任意正整数n，都有成等比数列． （ I）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，试比较与的大小．，数列是各项均不为0的等差数列，点在函数的图象上；数列满足 （I）求； （II）若数列满足，证明：＜3. 6. 已知数列满足 （1）令，证明：是等比数列；（2）求的通项公式。 7.（难）满足且对一切,有 （Ⅰ）求证：对一切 （Ⅱ）求数列通项公式. 7