2差分格式及构造.docVIP

§2. 差分格式的构造 差分格式 对于描述流体流动的微分方程定解问题，用差分来近似方程及定解条件中的导数，就可以构造出该定解问题的差分格式。 【例】波动方程初边值定解问题 （注）根据特征线理论，边值函数 和 依赖于初始条件，不能随便给，否则会与初始条件矛盾，导致问题无解，这在数学上叫做定解条件的相容性。这里假定上面所给的定解条件是相容的。 计算区域的离散化：假设求解到 时刻，则问题的求解区域为 ， 。为了进行差分近似，取定自然数 （作为空间网格的数目）和 （作为时间网格的数目），空间 方向的步长取为 ，时间 方向的步长取为 ，记 ，（） ，（） 求解区域里像 这样的点称作网格点。 定解问题的离散化：在网格点 处列出方程 对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数，都采用中心差分近似，即 代入原方程，就有 略去误差项，得 用 表示 的近似解（ ，），我们希望这一近似解能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式（这样才能确切地使用它），也就是要求 满足 此式是一个差分方程，称为原方程的差分近似。 （注）因为是在网格点 处列出的方程，所以在近似时间导数时，空间自变量 的取值固定在 处，而在近似空间导数时，时间自变量 的取值固定在 时刻。 上述导出差分方程的过程比较繁琐，但我们可以把这一过程总结为： “用近似解的差分表达式代替原方程中的（偏）导数，得到其差分近似”。 对定解条件中的一阶时间导数，在网格点 处有向前差分近似 于是就有 略去误差项，得 我们希望近似解也能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式，也就是要求 和 满足 此式也是一个差分方程，称为定解条件的差分近似。 上述过程也可以总结为： “用近似解的差分表达式代替定解条件中的（偏）导数，得到其差分近似”。 将上述两个过程综合在一起（如果原定解问题中还有其他含有偏导数的关系式，需将多个这样的过程综合在一起），就是 “用近似解的差分表达式代替定解问题中的（偏）导数，得到其差分近似”。 这样做的结果，将得到一组代数关系式，称为定解问题的差分近似，也叫作定解问题的差分格式，简称“格式”。 （注）由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。 具体到这里的定解问题，上面的过程给出如下的格式 将它改写成便于计算的形式 其求解步骤如下： 时刻（） ： 时刻（） ： ，() ， 时刻（） ： ，() ， 一般地，如果已经求出 和 两个时刻的近似解，则 时刻： ，() ， 对 反复进行这一步骤，直到求出 时刻的近似解。 1 6