高等代数课件-§3--2 柱面和锥面.pptVIP

§2 柱面和锥面 2.1 柱面方程的建立 2.2 圆柱面，点的柱面坐标 2.3 柱面方程的特点 2.4 锥面方程的建立 2.5 圆锥面 2.6 锥面方程的特点 1.定义3.2 一条直线 沿着一条空间曲线C 平行移动时所形成的曲面称为柱面. 称为母线，C 称为准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每条母线均相交的曲线均可作为准线。 2.设一个柱面的母线方向为 ， 准线C 的方程为 求这个柱面的方程. 点 在此柱面上的充分必要条件是 在某一条母线上，即，有准线C 上一点 使得M 在过 且方向为 的直线上（如图3.7）. 因此，有 消去 ，得 再消去参数 ，得到 的一个方程，就是所求柱面的方程. 3. 如果给的是准线C 的参数方程 则同理可得柱面的参数方程为 4. 例 求准线为 母线垂直于准线所在平面的柱面方程. 解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为(1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要条件为： 得： 消去参数 消去u得： 1.圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母线方向与准线圆垂直. 2. 圆柱面有一条对称轴 ，圆柱面上每一个点到轴 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径. 柱面的对称轴l0经过 此时柱面方程为： 3. 若圆柱面的半径为r，母线方向v(l,m,n)，以及圆 特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴，则这个圆柱面的方程为 3.例 求半径为2，对称轴为 的圆柱面的方程. 解： 设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为： 其方向向量为 直线l0过点 化简得： 4.点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关系是: 定理3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）；反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y），则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴y）的柱面. 证明： 柱面的母线平行于z轴，故 柱面的每条母线必与xOy平面相交，从而准线C方程可设为： 点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线上，从而有： 消去x0,y0,z0得： 由于u可取任意值，故柱面方程为： 反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们考虑以曲线C’ 为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知，该柱面的方程为 2.例如方程 表示母线平行于z轴的 柱面，它与xoy平面的交线为 这条交线是椭圆.这个柱面称为椭圆柱面（如图3.10）. 类似地，方程 分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱面（分别如图3.11、3.12）. 1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的一个定点 的连线组成的曲面称为锥面. 称为顶点，C称为准线，C上的点与 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 求这个锥面的方程. 2. 设一个锥面的顶点为 ，准线C的方程为 点 在此锥面上的充分必要条件是：M在一条母线上，即，准线上有一点 使 得 在直线 上. 因此，有 消去 得 再消去u，得到 的一个方程，就是所求锥面的方程. 3. 例 求顶点为原点，准线为 的锥面方程. 解：设M(x,y,z)为锥面上一点，则存在准线上的一点M1(x1,y1,z1)，使得 消去参数x0,y0,z0，得 再消去参数u，最后得 2. 如果已知顶点的坐标和轴 的方向向量 以及半顶角 ，则点 在圆锥面上的充分必要条件是： 1. 对于圆锥面，它有一根对称轴l，它的每一条母线与轴 夹的锐角都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角. 3.例 求顶点为 ，轴与平面 垂直，母线与轴夹角为 的圆锥面的方程. 由题意，锥的顶点M0坐标为(0,0,0)，故有 即： 化简得 垂直，从而知轴的方向向量v为 解：设M(x,y,z)为所求锥面上一点，由于轴与平面