尺规做图的局限性-台大数学系.DOC

尺規做圖的侷限性 主講：楊劼之 我想各位同學應該都多少聽過以下問題： 三大尺規做圖的不可解： 1.三等分任意角 2.化圓為方 3.倍立方體 這些問題都已被證明無法用尺規做圖完成 我們將證明為何它們不可構造(nonconstructable) 主題一：代數體系 近代(精確的說應該是從18世紀前半就開始)的代數學與過去相當不同，這些發展建立在幾個問題的討論上：一個是費馬最後問題，另一個就是五次方程式的公式解是否存在。前面的問題導致了研究環論的唯一分解性質，而後者造成了群論與體論的發展。除此之外，數論的進步也是造成代數重大變革的推手之一。 現在我們先熟悉一些代數體系： Def : a group G is a set with a binary operation “+” ?a, b?G a+b?G (a+b)+c = a+(b+c) ?0?G a+0 = a = 0+a?G ?(-a)?G a+(-a) = 0 當我們說到一個群(group)，我們考慮的只有這個集合上的一種運算 因此你也可以考慮大於零的實數集，對於乘法下形成的群 Def : a group G is abelian if it is commutative. 像是兩個函數或是兩個矩陣乘法就不可交換 f = 2x, g = x2 , f(g(x))=2x2 ,g(f(x))=4x2 Def : a field K is a abelian group with a binary operation “×” K\{0} is a abelian group under“×” ? a, b, c? K a×(b+c)= (a×b) + (a×c) 請先將上面體系的性質熟記在心 Example: Q, R Def : a vector space V is a abelian group over a field K With “．” : (K,V) → V ?a,b?V, r,s?K r(a+b)=ra+rb rs(a+b)=r(s(a+b)) (r+s)a=ra+sa 1a=a 它叫向量空間(vector space)，例如 Rn就是一個向量空間 代數體系介紹到此，我們現在要看看在這樣的結構下有什麼性質。 這也是近世代數中的研究方法，就是將同樣結構的東西加以整合並且從它的結構出發，像是把複雜的體系分解成簡單的、已知的體系來處裡問題。 主題二：重要性質 Def : let v1 v2 v3…vn∈ S? V: vector space, then x is a linear combination of the elements of S ? ? a1 a2 a3…an ?K s.t x= a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + … + an vn Def : let v1 v2 v3…vn∈ V: vector space, we say “they are linearly independent.” Iff 0 = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + … + an vn ? a1 = a2 = …= an = 0 我們更可以說一個子集合是線性獨立(linear independent)，若它的有限元素永遠線 性獨立。 Def :let S be a maximal linearly independent set of V, then denote ＃(S) = dimK(V) Thm1 :If ＃(S)＜∞ then (1): all S,? V, a linearly independent set of V then ＃(S,)≤＃(S) (2): ?S,,? S, linear indep ＃(S,,) = n 由上述定理知道維度(dimension)在有限維向量空間是妥善定義的(well-defined) 我們要證上述定理需要先證下面的引理。 Lemma1: If v1 v2 v3…vn+1 are n-tuples with entries in K, then they are linearly dep Proof: Do induction: For n=2 A1 = , A2 = , A3 = If A1 , A2 are linearly dep, done. If not A2 -A1 =