对称性在解几中的应用-江苏射阳中学.DOC

几种隐形的对称性问题 江苏省射阳中学（224300）沈卫华 对称性在解析几何中应用很广泛。常见的有点关于点的对称、点关于直线对称、直线关于点的对称以及直线关于直线的对称等。有些题目能让我们很明显地看出是对称性问题，而有些题目则不然，从题意上往往看不出是对称性问题，这就要求我们能充分挖掘题目中的隐含条件。下面笔者归纳出几种隐形的对称性应用问题。 距离的最大值与最小值问题 已知点P（-1，2），点Q（5，1），试在x轴上找一点M，使得|MP|+|MQ|取到最小值。 分析：有些同学尝试设出点M的坐标为（x,0），求出|MP|+|MQ|=+，可是这种函数的最小值却求不出来。本题我们可以结合图形去理解，利用对称性将|MP|（或|MQ|）进行等价转化。 略解：如图（1） 点P（-1，2）关于x轴的对称点P，（-1，-2）, 而 |MP|+|MQ|=|MP，|+|MQ|≥|P，Q|=3, 当点P，、M、Q在一条直线上时，上式取到最小值, 易求直线P，Q的方程为x-2y-3=0, 又点M在x轴上， ∴可求得点M的坐标为（3，0）时，|MP|+|MQ|取到最小值3。 例2、：已知点P（-1，0），点Q（2，-3），试在y轴上找一点M，使得||MP|-|MQ||取到最大值。 分析：本题与例1有些相似，也是利用对称性将|MP|（或|MQ|）进行等价转化。 略解：如图（2） 点P（-1，0）关于y轴的对称点P，（1，0）, 而||MP|-|MQ||=||M P，|-|MQ||≤|Q P，|=, 当点P，、M、Q在一条直线上时，上式取到最大值, 易求直线P，Q的方程为3x+y-3=0, 又点M在y轴上， ∴可求得点M的坐标为（3，0）时，||MP|-|MQ||取到最大值。 小结：例1、例2都是距离的最值问题。我们可以归纳为要求距离和的最小值，必将两点放到对称轴的同侧；要求距离差绝对值的最大值，必将两点放到对称轴的异侧。 三角形的角平分线问题 例3、在⊿ABC中点C的坐标为（，-），角A的平分线所在直线方程为y=x，角B的平分线所在直线方程为x轴，求AB边所在直线方程。 分析：本题可以直接设出点A、B的坐标去解决问题。但是如果从角平分线的性质入手，问题就会变的更简单了。我们知道将三角形沿着其一条角平分线进行折叠，那么该角的两边会重合。换一句话讲，一个角的两边关于其平分线对称。 略解：如图（3） 点C关于直线y=x的对称点D的坐标为（-，）， 点C关于x轴的对称点E的坐标为（，）， 根据角平分线的性质，点D、E均在AB边所在的直线上， 可以求出直线DE方程的为x-3y+5=0， 所以 AB边所在直线方程为x-3y+5=0。 小结：对于角平分线的研究，后期还可以运用“到角”原理或者“夹角”原理，目前运用对称性更便于理解和解决问题。 光线入射与反射问题 例4、从点P（-3，3）出发的入射光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光线和反射光线所在直线方程。 分析：本题的关键问题是要能够发现入射光线与反射光线的关系：它们关于x轴对称。因此反射光线必过点P，（-3，-3）且与圆C：(x-2)2+(y-2)2=1相切。也可以理解为入射光线经过点P（-3，3）与圆C，：(x-2)2+(y+2)2=1相切。 略解：如图（4） 易求点P关于x轴的对称点P，（-3，-3）， 圆C：(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称的圆C，：(x-2)2+(y+2)2=1， 由对称性可知反射光线必过点P，（-3，-3）且与圆C：(x-2)2+(y-2)2=1相切， 而由分析可知反射光线的斜率必存在，故设方程为y+3=k(x+3) ∴ 1=, 可解得 k=或k=, ∴反射光线的方程为3x-4y-3=0或4x-3y+3=0, 再根据入射光线与反射光线关于x轴对称， 可以求出相对应的入射光线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0， ∴当入射光线为3x+4y-3=0时，反射光线为3x-4y-3=0； 当入射光线为4x+3y+3=0时，反射光线为4x-3y+3=0。 总之，对称性是解析几何中一个重要的知识点，我们不仅仅要掌握好这个知识点，关键还要能灵活运用这一知识点，特别是针对一些隐形的对称性问题。另外还希望同学们平时学习中注意归纳小结，对一些相类似的题目进行归类，往往会起到事半功倍的效果。 xx y o o x 图（1） 图（2） P，(-1,-2) P(-1,2) Q(5,1) M o x yY 图（4） y B A C 图（3） E P，（-3，-3） D . . . .C . .