妙用对称性解题大突破.DOC

妙用对称性 解题大突破 -------对2013年数学中考宁波卷填空压轴题教学设计的思考 永康五中 吴芳丽 【】 形如 (k≠0)的函数叫做反比例函数,它是描述两变量之间相互关系的重要数学模型之一。近几年中考中，与反比例函数对称性相关的问题比较活跃，如果学生能充分理解这一性质，并学会巧用妙用，这样既能迅速找到突破口，提高解题速度，又能从整体上思考问题,提高思维的严密性。 为此，我围绕这一课题展开了以“问题设计、启发思考”为中心的教学设计（课堂教学时间40分钟）。 【设计过程】 教师活动 学生活动 设计意图 问1：如图，反比例函数图象的对称轴的条数是（　　） A. 0 B.1 C.2 D.3 问2：你能写出这两条对称轴的解析式吗？ 问3：如图，正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是（　　） A.(1，2) B.(-1，-2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 师生归纳： 反比例函数图象是　 　 图形，有　 条对称轴，分别是　 ，也是　 图形，对称中心是　 。 师：请边读边思考 （2013?宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上， ∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 　 问1：根据题意你得到了哪些信息？ 师：你如何求点E的坐标，需要做什么假设吗？请动笔思考。 问2：通过求解，你们得到了哪些结论？（师可以让学生上讲台指着图分析） 问3：你们有什么困惑吗？ 问4：其他同学有什么发现吗？ 问5：那你们知道怎么列吗？ 师：那让我们一起求出点E的坐标，看看谁做得又快又正确。 师：难题迎刃而解！但是如果将 反比例函数 二次函数（已知解析式） 等腰直角三角形 直角三角形（已知两直角边长度）， △BDE∽△BCA不做改变，你还能求出点E的坐标吗？ 师：看来我们刚才用的是万能法，那这道题还应该有特殊的、简便的方法。谁想在第一时间告诉老师？ 问1：你们发现了什么特殊情况？ 问2：聪明的你们是怎么发现的？ 问3：那你们还是先设点E，再根据K1 K2=-1求点D,然后发现这两点关于直线y=x对称。 问4：真的，说来听听！ 师：是的，这位同学分析得很好！ 师归纳：我们要学会从图形的特殊性着手，这样可以提高解题速度、少走弯路。 师：我也进行简化并稍稍改变了图形，此图的对称轴找到了吗？是谁呢？（请看右图） 问1：下面请同学们再次分享简便的解题思路 问2：那是不是所有的双曲线和线段组成的交点都关于y=x或者y=-x对称呢？ 问3：那需要加上什么条件吗？ 问4：今天你们有什么收获吗? 师：同学们都说得很好！是的，妙用对称性（不仅仅是反比例函数）既可以提高解题速度，又可以提高思维的严密性。 课后习题一（2011?金华16） 如右图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′． （1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是　 　； （2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围 是　 或　 。 课后习题二 如右图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，OA=OB=6，点C在第一象限，∠A=30°，P(m，n)是线段BC上的动点，过点P作BC的垂线a，以直线a为对称轴，将线段OB轴对称变换后得线段 O’B’， （1）当点B′与点C重合时，m的值是　 　； （2）当线段 O’B’与线段AC没有公共点时，m的取值范围是　 　； 请同学们课后完成！ 生1：作图可得 共2条，故选C. 生2：它们分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，解析式为y=±x 生3：∵正比例与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为（2，1）， ∴B的坐标为（﹣2，﹣1） 故选D 生齐声作答 生边读题边思考 生的信息如下： 生1：∠BDE=90°； 生1：△BDE和△BCA都是等腰直角三角形； 生1：KAB=1， KCD=-1等等...... 生动笔思考...... 学生发言： 生2：要求点E，我就设E(（a，） ∴C（a，0），B（a，2），A（a﹣2，0）， ∴可求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a． 生3：我再设 D（b，），如果将点D也代入直线AB的解析式，就变成=b+2﹣a ，求不出点E. 生