数理方程1.1,1.2.ppt

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数理方程1.1,1.2

如 二阶偏微分方程 可简写为 例 非齐次波动方程的Cauchy问题 的解等于问题(I)和问题(II)的解之和 例 设弦的两端固定于x=0 和x=l,弦的初始位移如下图,初速度为零,求弦满足的定解条件。 解: 基本要求 正确理解偏微分方程的定解条件、定解问题、初始 条件、边界条件、定解问题的适定性等基本概念 弄清三类典型方程对各自初始条件的要求 正确理解三种类型的边界条件的意义,并正确判 断边界条件与方程中的外力或外源 了解推导数学物理方程的一般步骤 * 当一个微分方程除了含有未知函数(自变量不唯一),还含有未知函数的一个或者多个偏导数,则称为偏微分方程(常微分方程为特例)。 * * 设弦上具有横坐标为 x 的点,在时刻 t 的位置是 M, 位移NM 记作 u ,显然在振动过程中,位移 u 是 x 和 t 的函数 u(x,t)。 * 弦的重量与其张力相比很小 * 不妨设函数 u 关于变量 x, y, z 具有二阶连续偏导数,关于变量 t 一阶连续偏导数. * 热流密度与温度下降率成正比 方向导数,梯度 热量的流向与温度梯度的方向相反 * 具有二阶连续偏导数且满足上述方程的连续函数称为调和函数。 * 方程的共性,方程的个性! * 初始条件的个数:关于t的n阶偏微分方程,要给出n个初始条件 波:2个,热:1个,possion:无。 * 在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比 f = - kx. k: 弹性体的劲度系数。 弹力方向和形变量方向相反 应力=杨氏模量*相对伸长 例 4. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。 待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t) R — 每一回路单位的串联电阻, L — 每一回路单位的串联电感, C — 每单位长度的分路电容, G — 每单位长度的分路电导, Kirchhoff 第一,二定律 微分 第一个方程关于 求偏导,第二个方程关于 并乘以常数 得: 两式相减得: 并把 代入得: 从而 类似的可以得到关于 的方程 — 传输线方程 高频传输,G=0, R=0 —高频传输线方程 化简 与一维波动方 程 类 似 例5. 电磁场方程 电场强度: 磁场强度: 电感应强度: 磁感应强度: 满足麦克斯韦方程组 H—磁场强度 E—电场强度 — 三维波动方程 麦克斯维方程组 物 质 方 程 组 对方程(1.8)两边取旋度得 利用公式 得到 消去 得到 的方程 从方程(1.11)与(1.12)还可以推导出静电场的电位所满足的微分方程 电场强度 与电位 之间存在关系 两边取散度得 从而 静电场的电位方程 — Poisson方程 — Laplace方程 波动方程 — 声波、电磁波、杆的振动; 热方程 — 热传导, 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动, 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布,静电场的电位, 流体的势. 总 结: §1.2 初始条件与边界条件 初始条件 边界条件 初始条件 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件。初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题)。 热传导问题:若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M的温度,则热传导问题的初始条件为 泊松方程和拉普拉斯方程:描述稳恒状态的,与时间无关,所以不提初始条件。 弦振动问题:设初始位移、初始速度为 ,则波动方程的初值条件为 若 不同类型的方程,相应初值条件的个数不同。关于t的n阶偏微分方程,要给出n个初始条件 初始条件给出的应是整个系统的初始状态,而非 系统中个别点的初始状态。 注意: 边界条件 第一类边界条件 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件. 例如,在弦振动问题上,如果弦的两端是固定的,也就是说端点无位移,则其边界条件为 若弦的两端不是固定的,而是按照规律 在运动,则其边界条件为 又如,在热传导问题中,当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时,其边界条件为 第二类边界条件 例如,在弦振动问题中,弦的一端(如 x = l)可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动,且不受垂直方向的外力,我们称这种端点为“自由端”。 当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时,有 在这一端点,边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0,因此在方程的推导中知 , 即 在热传导问题中,如果物体和周围介质处于绝热状态,即在表面上热量的流速始终为0,则由方程推导

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