第五节 几何学发展.pptVIP

* 第五节 几何学的发展 1 几何学简介 2 欧几里得几何学 3 解析几何 4 射影几何学 5非欧几何学 6 黎曼非欧几何 7 拓扑学 8 几何学的统一 1 几何学简介 几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为“测地术”。 几何学的发展： 欧几里得几何学（约公元前300年）； 解析几何学（17世纪）； 射影几何学（18世纪）； 非欧几何学（19世纪）； 微分几何学（19世纪）； 黎曼几何学（19世纪）； 拓扑学（19世纪）； 代数几何学（20世纪）； 分形几何（20世纪） 2 欧几里得几何学 2.1 《几何原本》 欧几里得(Euclid,公元前330-275年)古希腊著名的天文学家与数学家。“原本”的希腊文意指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义与465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。第一、二、三及四卷包含了平面几何的一些基本内容。第五卷讲比例论，第六卷讲几何代数问题，第七、八、九卷是关于数论的内容，第十卷讨论不可公度量，最后三卷是立体几何问题。公设 1 假定从任意一点到任意一点可作一直线． 2 一条有限直线可不断延长． 3 以任意中心与直径可以画图． 4 凡直角都彼此相等． 5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角与小于两直角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角与小于两直角的一侧相交. 欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论十碑．它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个 命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义与被认为是不证白明的基本原理——公设或公理．这就是后来所谓的公理化思想。 特点：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然； 2.2 圆锥曲线 欧几里得《二次曲线》； 阿基米德（Archimedes，公元前287-212年）； 厄拉多塞（Eratosthenes 公元前274-194年）《论圆锥曲线》； 阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）《圆锥曲线论》，全书共八卷，含487个命题，与《原本》一起被誉为古希腊几何的登峰造极之作。 3 解析几何 1629费马《平面与立体的轨迹引论》 1637笛卡尔《几何学》 将代数与几何相结合，引入了变数，数学进入变量数学时期。 4 射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学。 4.1 产生背景 绘画、建筑 透视法 阿尔贝蒂（L.B.Alberti,1404-1472，意大利）《论绘画》1435 投影线、截影等。 4.2 发展 德沙格(G．Desargues，1591—1661，法国) 1639年《试论圆锥与平面相交结果》 70多个射影几何术语，无穷远点，无穷远线。 德沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立” 交比不变性定理；对合；调与点组 线可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化为圆；焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线等等。 帕斯卡(B．Pascal，1623—1662，法国) 16岁(1639)，约八页的小册子《略论圆锥曲线》 帕斯卡定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。” 彭赛列（J.V.Poncelet,1788-1867）1822《论图形的射影性质》 几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。 莫比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868） 解析法，齐次坐标 施陶特（K.G.C.von Staudt）建成第一个严格的射影几何演绎体系。 5 非欧几何学（罗氏几何） 5.1 背景 欧几里得第五公设（平行公设）：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角与小于两直角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角与小于两直角的一侧相交。 给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行 证明或失败，或循环论证 萨特里（意大利）、吕格尔（德国）、兰伯特（瑞士） 5.2 诞生与发展 高斯 1813 反欧几里得几何 非欧几里得几何 非欧几何 与