信号与系统第三章：傅里叶变换.ppt

* 周期冲激序列的傅立叶变换 ?1 ?1 ??1(t ) -2 ?1 -3 ?1 - ?1 2 ?1 3 ?1 ?1 0 t ?T(t ) -2T -3T -T 0 T 2T 3T 图 3.7-3 周期冲激序列 ? 可见：时域中周期为 的单位冲激序列，在频域中是 周期为?1 ，强度为?1的冲激序列。其中 * 方法二 设周期信号 ，从该信号中截取一个周期信号， 令其为 。 这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法。 * 例3.7-3 求周期性脉冲 的频谱函数。 解 ： 0 t T -T pT(t) 1 * 三、傅里叶系数与傅里叶变换的关系 由于： ? ? ? ? 又由于： * 所以： 即 * 例3.7-4 将图 (a)所示周期信号展开成指数形式傅里叶级数。 2T t 0 T -T 1 (a) 0 T 1 (b) T/2 T/2 t * 解： 得到： * 本节小结 1、正弦、余弦函数的傅里叶变换 2、周期信号的傅里叶变换 3、傅里叶系数与傅里叶变换的关系 * Assignment 3-2(b)、(c); 3-3(b)、(c); 3-4(2); 3-8(3)、(6); 3-9(2)、(7); * 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理 “抽样信号”就是从一连续信号 中，每隔一定时间间隔抽取一个样本数值，所得到的一系列样本值构成的序列。抽取样本的过程称之为“抽样”(或“取样”、“采样”)。 抽样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，抽样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。 本节的重点是时域抽样和时域抽样定理。 * 一、信号的抽样 所谓“抽样”就是利用取样脉冲序列 从连续信号 中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号。 * * 冲激抽样 若 是周期为 的冲激函数序列 ，则这样对连续信号 进行抽样，称之为冲激抽样。 即， 由于 是周期函数，则其傅立叶变换为： ，其中 * 又由于 在 中为 ，根据冲激函数性质，有： 所以： 如果连续信号 是带限信号，即 的频谱只在区间 为有限值，而在其余区间数值为0。则因为， * 所以， * 根据上述分析和图形，可以看出原信号 的频谱 ，与经 抽样后的抽样信号 的频谱 之间的关系： （1）在 中保留了 ，形状上维持不变。 （2） 与 两者在幅度上只相差一个系数 。 上面在画取样信号 的频谱时，设定 ,这时其频谱不发生混叠，因此能设法从 中取出 ，即从 中恢复原始信号 。否则将发生“频谱混叠”现象，而无法恢复原始信号 。 * 二、时域取样定理 如果抽样间隔 不够小，以至达到 ，则在频谱 以 为周期进行重复的 频谱图上，将会发生 重叠现象，具体如下图所示。因此，从 中取出的任一个周期都是失真了的 ，当然也就无法据此恢复出原信号 。 * * 本章小结与重点 1、频域分析的基本概念 2、周期信号的频谱与非周期信号的傅里叶变换 3、卷积定理 4、周期型号的傅里叶变换 5、取样定理 * Assignment 3-2(b)、(c); 3-3(b)、(c); 3-4(2); * 预习内容： (1) 卷积定理； (2) 周期信号的傅立叶变换； (3) 抽样信号的傅立叶变换与抽样定理； * 上次课的回顾： 着重讲解了傅立叶变换的八个性质，通过灵活利用性质，不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化计算。在对性质进行分析和解释的基础上，用较多的例题予以说明和印证。 需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和常用信号的傅立叶变换。 * 3.6 卷积定理 时域卷积定理 若 则 时域卷积定理证明如下：根据卷积积分的定义 其傅里叶变换为 ? * 将它代入到上式得 ? 由时移特性知 * 若： 则： 式中： 频域卷积定理 * 例3.6-1 求斜升函数 和函数 的频谱函数。 解: （1） 的频谱函数 我们已知 根据频域卷积定理，可得