天体运动探秘配套练习突破之6.doc

突破之3 万有引力和天体运动 1．开普勒定律 第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”： rvsinθ（θ为矢径r与速度的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。即： =常量2．万有引力定律 ⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． ， ，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法 设M为地球的质量，g为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（ ）处：G=9.8m/s2 在地球上空距地心r=R+h处：=， g 在地球内部离地心r处：=Gπρr， g 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能 当一颗质量为m的行星以速度 绕着质量为M的恒星做平径为r的圆周运动： mv2=G，式中。v= ⑵行星的势能 对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m与M相距r时，其体系的引力势能：G ⑶行星的机械能：mv2—G= G 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球） 第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）． 第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）． 第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径． 对于任何一个质量为M，半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即，则有关系． 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r值被称为引力半径，记为 用地球质量代入，得到rg≈0.9 cm，设想地球全部质量缩小到1 cm以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息． 如果物质均匀分布于一个半径为r的球体内，密度为ρ，则总质量为πρr3 又假设半径r正好是引力半径，那么=，得)1/2 此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径．二2.地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω。万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的引力势能可表示为:EP=- G。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，则 （1）空间站绕地球飞行的线速度是多少？ （2）如果该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？ 3. 物体从地球上逃逸所需的速度为v=，其中G=6.67×10-11Nm2kg-2。M为地球质量，R为地球半径。 (1)逃逸速度大于真空中的光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量m=1.98×1030kg，求它的可能的最大半径． (2)在目前天文观察范围内，宇宙中物质的平均密度ρ=1.0×10-27kg／m3．如果我们把宇宙看成一个大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度。因此任何物体都不能脱离宇宙，则宇宙的半径至少多大?(结果保留一位有效数字) 4. 同步卫星A的运行速率为v1，向心加速度为a1，运转周期为T1；放置在地球赤道上的物体B随地球自转的线速度为v2，向心加速度为a2，运转周期为T2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星C的速率为v3，向心加速度为a3，动转周期为T3。比较上述速度、加速度、周期的大小。 例5.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它正围绕两者连线的中点做圆周运动.（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：（N＞1）.为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜