《培优》九年级部分题目解析.doc

16.转化灵活的圆中角 （2011?荆门）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是50°． 考点：圆周角定理． 专题：计算题． 分析：连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可． 解答：解：连接AD，∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∵∠B=40°，∴∠D=40°，∴∠ACD=50°，故答案为50°． 点评：此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°，现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③；?④2CE?AB=BC2，其中正确结论的序号为 ②④ ． 考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题：压轴题． 分析：首先连接AD，OE，BE，由AB为⊙O的直径，CD=BD，易证得AB=AC，又由∠C=70°，可求得∠BAC=40°；继而可求得∠BOE=80°，∠AOE=100°，则可得弧AE≠弧BE；易证得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2CE?AB=BC2． 解答：解：连接AD，OE，BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∵CD=BD，∴AC=AB，故②正确；∴∠B=∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°，故①错误；∵∠BOE=2∠BAC=80°，∴∠AOE=180°-∠BOE=100°，∴；故③错误；∵∠CEB=∠ADB=90°，∠CBE=∠CAD=∠BAD，∴△CEB∽△BDA，∴ ∴BC?BD=AB?CE，∵BC=2BD，∴2CE?AB=BC2．故④正确．故答案为：②④． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （2000?黑龙江）如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE?AC，BD=8，求△ABD的面积． 考点：圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：计算题． 分析：求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE?AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积． 解答：解：如图，连接OA、OB，交DB于F；∵AB2=AE?AC，即 又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB；∴∠DBA=∠BCA；而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；∴AB=AD，∴OA⊥BD，且F为BD的中点；∴BF=4；在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，∴OF=3；而OA=5，∴AF=2；∴S△ABD=BD×AF=8． 点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，综合性强，难度稍大． （2011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由． 考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样． 解答：（1）证明：∵AB是直径，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三点共线；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图