第5章第4节平面曲线的曲率.pptVIP

引言: 上一节利用函数导数为工具,研究函数升降性、极值性、最值性及凹凸性等性态，使我们对于函数的认识和把握更加全面和准确.认识总是在不断深化,为了使研究更进一步深入,本节讨论如何利用导数来刻画平面曲线的弯曲程度---平面曲线的曲率问题.这种问题在科学研究和工程技术中有广泛的应用. 主要内容 1.曲线的曲率定义 2.弧长的微分概念 3.曲率的计算 4.曲率圆与曲率半径 *宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 §5.4. 平面曲线的曲率 知难而进 对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同. 例如： A B A B 一、曲率的定义 以上两段不同曲线段在长度相等的情况下,切线变化不同弯曲程度不同. 观察: A A B B · · o 曲线的弯曲程度与其 切线方向变化的夹角 的大小及其弧长 有关. 结论： 两段圆弧的切线方向改变同一角度, 但弧长小的曲线弯曲程度大 观察: 如何具体刻画? y x o A 如上图，称 B 任意弧段 AB = = R ， 有 为曲线段 AB 的平均曲率，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度. O A B R 如下图，对于半径为R的圆， 切线的变化相对于弧长的平均变化率 平面几何 Def 对于直线来说, 其切线方向不变, 即 , 有 同一条曲线的不同点处, 曲线弯曲的程度可能不同. Def : 曲线在 A 点的曲率为 其中 为点A及其邻点B之间弧长, 为AB上切线 方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度. x y o x A 如图，设曲线的弧长 s 由点 A 起算. 任取 MN = ，有 由此得 当 充分小时，在一些假定之下( 如曲线有连续导数 )， 二、弧长的微分 p 从而即得 弧长微分的公式 或 以直代曲 ⑴ ⑵ ⑶ 关于 的具体表示式： 直角坐标方程 参数方程 极坐标方程 ★ 计算公式 三、曲率的计算 先计算 , 考虑曲线 在 M 点的切线, 有 两边求微分，得 曲线方程为直角坐标方程情况下 不难得出，曲线参数方程和极坐标方程情况下的计算公式为： ★ 计算 公式 四、曲率半径与曲率圆 由上述公式计算知,对半径为 R 的圆,圆周上任一点的曲率是常数 Def : 一般地曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径，记作 几何意义： 如图，在A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取 一点O，使得 OA= (曲线在A点的曲率半径). 以O为圆心， 为半径作一个圆，称之为曲线在A点的曲率圆. · A o 曲率中心 圆的特点 曲率圆与曲线在A点具有以下关系: ⑴ 有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切； ⑵ 有相同的曲率； ⑶ 圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数. 讨论 y = f (x) 在某点 x 的性质时，若此性质仅 与 x , y , 有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆 的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质. 以上关系表明： 例1. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径. 解： x y O 可见 法线： x = 0 . 切线：y = 0 , 例2.求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程. 解： 由例1知 例3. 铁道的弯道分析 缓 *宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 §5.4. 平面曲线的曲率 知难而进